【題目】如圖,正方形ABCD邊長為4,點(diǎn)O在對(duì)角線DB上運(yùn)動(dòng)(不與點(diǎn)B,D重合),連接OA,作OP⊥OA,交直線BC于點(diǎn)P.
(1)判斷線段OA,OP的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
(2)當(dāng)OD=時(shí),求CP的長.
(3)設(shè)線段DO,OP,PC,CD圍成的圖形面積為S1,△AOD的面積為S2,求S1﹣S2的最大值.
【答案】(1)OA=OP,理由見解析;(2)PC=2;(3)當(dāng)x=2時(shí),S1﹣S2有最大值是4
【解析】
(1)證明四邊形OGBH是正方形,得BG=BH,∠GOH=90°,再證明△AGO≌△PHO(ASA),則OA=OP;
(2)如圖2,作輔助線,證明△ODQ是等腰直角三角形,得OQ=DQ=1,證明△ADO≌△CDO(SAS),可得PC的長;
(3)如圖3,作輔助線,構(gòu)建三角形全等,設(shè)OH=x,則DH=x,CH=OG=4﹣x,PC=2x,根據(jù)S△AOD=S△COD,則S1﹣S2=S△POC==﹣x2+4x,配方后可得結(jié)論.
解:(1)OA=OP,理由是:
如圖1,過O作OG⊥AB于G,過O作OH⊥BC于H,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠ABO=∠CBO,AB=BC,
∴OG=OH,
∵∠OGB=∠GBH=∠BHO=90°,
∴四邊形OGBH是正方形,
∴BG=BH,∠GOH=90°,
∵∠AOP=∠GOH=90°,
∴∠AOG=∠POH,
∴△AGO≌△PHO(ASA),
∴OA=OP;
(2)如圖2,過O作OQ⊥CD于Q,過O作OH⊥BC于H,連接OC,
∴∠OQD=90°,
∵∠ODQ=45°,
∴△ODQ是等腰直角三角形,
∵OD=,
∴OQ=DQ=1,
∵AD=CD,∠ADO=∠CDO,OD=OD,
∴△ADO≌△CDO(SAS),
∴AO=OC=OP,
∵OH⊥PC,
∴PH=CH=OQ=1,
∴PC=2;
(3)如圖3,連接OC,過O作OG⊥BC于G,OH⊥CD于H,
設(shè)OH=x,則DH=x,CH=OG=4﹣x,PC=2x,
由(2)知:△AOD≌△COD,
∴S△AOD=S△COD,
∴S1﹣S2=S1﹣S△COD=S△POC==﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,
當(dāng)x=2時(shí),S1﹣S2有最大值是4.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知△ABC中,CA=CB,0°<∠ACB≤90°,點(diǎn)M、N分別在邊CA,CB上(不與端點(diǎn)重合),BN=AM,射線AG∥BC交BM延長線于點(diǎn)D,點(diǎn)E在直線AN上,EA=ED.
(1)(觀察猜想)如圖1,點(diǎn)E在射線NA上,當(dāng)∠ACB=45°時(shí),①線段BM與AN的數(shù)量關(guān)系是 ; ②∠BDE的度數(shù)是 ;
(2)(探究證明)如圖2點(diǎn)E在射線AN上,當(dāng)∠ACB=30°時(shí),判斷并證明線段BM與AN的數(shù)量關(guān)系,求∠BDE的度數(shù);
(3)(拓展延伸)如圖3,點(diǎn)E在直線AN上,當(dāng)∠ACB=60°時(shí),AB=3,點(diǎn)N是BC邊上的三等分點(diǎn),直線ED與直線BC交于點(diǎn)F,請(qǐng)直接寫出線段CF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)中,拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3),點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn),PE∥y軸,交直線BC于點(diǎn)E連接AP,交直線BC于點(diǎn) D.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)當(dāng)AD=2PD時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)求線段PE的最大值;
(4)當(dāng)線段PE最大時(shí),若點(diǎn)F在直線BC上且∠EFP=2∠ACO,直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,有邊長為a的正方形卡片①,邊長為b的正方形卡片②,兩鄰邊長分別為a,b的矩形卡片③若干張.
(1)請(qǐng)用2張卡片①,1張卡片②,3張卡片③拼成一個(gè)矩形,在方框中畫出這個(gè)矩形的草圖;
(2)請(qǐng)結(jié)合拼圖前后面積之間的關(guān)系寫出一個(gè)等式;
(3)小明想用類似方法解釋多項(xiàng)式乘法(a+3b)(2a+2b)的結(jié)果,那么需用卡片①______張,卡片②______張,卡片③______張.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某家具商場(chǎng)計(jì)劃購進(jìn)某種餐桌、餐椅進(jìn)行銷售,有關(guān)信息如表:
原進(jìn)價(jià)(元/張) | 零售價(jià)(元/張) | 成套售價(jià)(元/套) | |
餐桌 | a | 270 | 500元 |
餐椅 | a﹣110 | 70 |
已知用600元購進(jìn)的餐桌數(shù)量與用160元購進(jìn)的餐椅數(shù)量相同.
(1)求表中a的值;
(2)若該商場(chǎng)購進(jìn)餐椅的數(shù)量是餐桌數(shù)量的5倍還多20張,且餐桌和餐椅的總數(shù)量不超過200張.該商場(chǎng)計(jì)劃將一半的餐桌成套(一張餐桌和四張餐椅配成一套)銷售,其余餐桌、餐椅以零售方式銷售.請(qǐng)問怎樣進(jìn)貨,才能獲得最大利潤?最大利潤是多少?
(3)由于原材料價(jià)格上漲,每張餐桌和餐椅的進(jìn)價(jià)都上漲了10元,但銷售價(jià)格保持不變.商場(chǎng)購進(jìn)了餐桌和餐椅共200張,應(yīng)怎樣安排成套銷售的銷售量(至少10套以上),使得實(shí)際全部售出后,最大利潤與(2)中相同?請(qǐng)求出進(jìn)貨方案和銷售方案.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖AB是⊙O的直徑,PA與⊙O相切于點(diǎn)A,BP與⊙O相交于點(diǎn)D,C為⊙O上的一點(diǎn),分別連接CB、CD,∠BCD=60°.
(1)求∠ABD的度數(shù);
(2)若AB=6,求PD的長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】永康市某校在課改中,開設(shè)的選修課有:籃球,足球,排球,羽毛球,乒乓球,學(xué)生可根據(jù)自己的愛好選修一門,李老師對(duì)九(1)班全班同學(xué)的選課情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),制成了兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖(如圖).
(1)該班共有學(xué)生 人,并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;
(2)求“籃球”所在扇形圓心角的度數(shù);
(3)九(1)班班委4人中,甲選修籃球,乙和丙選修足球,丁選修排球,從這4人中任選2人,請(qǐng)你用列表或畫樹狀圖的方法,求選出的2人中恰好為1人選修籃球,1人選修足球的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn).
(1)求A、B、C的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)M為線段AB上一點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合),過點(diǎn)M作x軸的垂線,與直線AC交于點(diǎn)E,與拋物線交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PQ∥AB交拋物線于點(diǎn)Q,過點(diǎn)Q作QN⊥x軸于點(diǎn)N.若點(diǎn)P在點(diǎn)Q左邊,當(dāng)矩形PQMN的周長最大時(shí),求△AEM的面積;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)矩形PMNQ的周長最大時(shí),連接DQ.過拋物線上一點(diǎn)F作y軸的平行線,與直線AC交于點(diǎn)G(點(diǎn)G在點(diǎn)F的上方).若FG=DQ,求點(diǎn)F的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1)的拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于A、B兩點(diǎn).
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D,連接AC、AD,求△ACD的面積;
(3)點(diǎn)E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)E作y軸的平行線EF,與拋物線交于點(diǎn)F.問是否存在點(diǎn)E,使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△BCO相似?若存在,求點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
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