【題目】在△OAB,△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=90°.

(1)若O、C、A在一條直線上,連AD、BC,分別取AD、BC的中點M、N如圖(1),求出線段MN、AC之間的數(shù)量關系;

(2)若將△OCD繞O旋轉到如圖(2)的位置,連AD、BC,取BC的中點M,請?zhí)骄烤段OM、AD之間的關系,并證明你的結論;

(3)若將△OCD由圖(1)的位置繞O順時針旋轉角度α(0°<α<360°),且OA=4,OC=2,是否存在角度α使得OC⊥BC?若存在,請直接寫出此時△ABC的面積;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)MN=AC.(2)OM=AD,OM⊥AD.詳見解析;(3)6+2或6﹣2

【解析】

(1)如圖1中,作BHOB,AHOA,連接OM延長OMBHP,連接ON延長ONAHQ,連接PQ.只要證明MNOPQ的中位線,AC=HQ=HP即可解決問題;

(2)結論:OM=AD,OMAD.如圖2中,延長OMH,使得MH=OM,設ADOHG,交OBK.想辦法證明OBH≌△AOD即可解決問題;

(3)分兩種情形①如圖3中,當OCBC設,作CHOAYH.SABC=SAOB-SAOC-SBOC計算即可;

(1)如圖1中,作BHOB,AHOA,連接OM延長OMBHP,連接ON延長ONAHQ,連接PQ.

OA=OB,AOB=OAH=OBH=90°,

∴四邊形OAHB是正方形,

CM=MB,

OM=MB,

∴∠MBO=MOB,

∵∠MBO+MBP=90°,MOB+MPB=90°,

∴∠MBP=MPB,

BM=PM=OM,

同理可證ON=NQ,

MN=PQ,

MC=MB,MO=MP,CMO=PMB,

∴△CMO≌△BMP,

PB=OC,同理可證AQ=OD,

OC=OD,

AQ=PB=OC=OD,

OA=OB=AH=BH,

AC=BD=PH=QH,

PQ=PH=AC,

MN=AC.

(2)結論:OM=AD,OMAD.

理由:如圖2中,延長OMH,使得MH=OM,設ADOHG,交OBK.

CM=BM,CMO=BMH,OM=MH,

∴△CMO≌△BMH,

OC=BH=OD,COM=H,

OCBH,

∴∠OBH+COB=180°,

∵∠AOD+COB=180°,

∴∠OBH=AOD,

OB=OA,

∴△OBH≌△AOD,

AD=OH,OAD=BOH,

∵∠OAD+AKO=90°,

∴∠BOH+AKO=90°,

∴∠OGK=90°,

ADOH,

OM=AD,OMAD.

(3)①如圖3中,當OCBC設,作CHOAYH.

∵∠OCB=90°,OB=2OC,

∴∠OBC=30°,OCB=60°,COH=30°,

CH=OC=1,BC=OC=2,

SABC=SAOB﹣SAOC﹣SBOC=6﹣2

②如圖4中,作CHAOH.

易知∠BOC=60°,COH=30°,可得CH=1,BC=2,

SABC=SAOB+SBOC﹣SAOC=6+2

綜上所述,ABC的面積為6+26﹣2

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