【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,O為AC中點(diǎn),過點(diǎn)O作AC的垂線分別交AD、BC于點(diǎn)E、F,連接AF、CE.
(1)求證:四邊形AFCE是菱形.
(2)若AC=8,EF=6,求BF的長.
【答案】
(1)證明:∵O為AC中點(diǎn),EF⊥AC,
∴EF為AC的垂直平分線,
∴EA=EC,F(xiàn)A=FC,
∴∠EAC=∠ECA,∠FAC=∠FCA.
∵AE∥CF,
∴∠EAC=∠FCA,
∴∠FAC=∠ECA,
∴AF∥CE,
∴四邊形AFCE平行四邊形,
又∵EA=EC,
∴平行四邊形AFCE是菱形.
(2)解:∵四邊形AFCE是菱形,AC=8,EF=6,
∴OE=3,OA=4,
又∵EF⊥AC,
∴AE=CF=5,
設(shè)BF=x,
在Rt△ABF中,
AB2=AF2﹣BF2,
在Rt△ABC中,
AB2=AC2﹣BC2.
∴52﹣x2=82-(x+5)2,
解得 x=,
∴ BF=.
【解析】(1)由中垂線定義得EF為AC的垂直平分線,再由其性質(zhì)得EA=EC,F(xiàn)A=FC;根據(jù)等腰三角形性質(zhì)——等邊對等角得∠EAC=∠ECA,
∠FAC=∠FCA;由平行線的性質(zhì)知∠EAC=∠FCA,等量代換即可得∠FAC=∠ECA,由平行線的判定得AF∥CE,根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形得四邊形AFCE平行四邊形;再根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形得證.
(2)由菱形的性質(zhì)和已知條件得OE=3,OA=4,再由勾股定理得AE=CF=5,設(shè)BF=x;在Rt△ABF和Rt△ABC中,由勾股定理得
AB2=AF2﹣BF2,AB2=AC2﹣BC2.代入數(shù)值即可得出方程,解之即可得出答案.
【考點(diǎn)精析】掌握等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理的概念是解答本題的根本,需要知道等腰三角形的兩個底角相等(簡稱:等邊對等角);直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】 我們定義:如圖1、圖2、圖3,在△ABC中,把AB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<180°)得到AB′,把AC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)β得到AC′,連接B′C′,當(dāng)α+β=180°時,我們稱△AB'C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”,△AB′C′邊B'C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”,點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.圖1、圖2、圖3中的△AB′C′均是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”.
(1)①如圖2,當(dāng)△ABC為等邊三角形時,“旋補(bǔ)中線”AD與BC的數(shù)量關(guān)系為:AD= BC;
②如圖3,當(dāng)∠BAC=90°,BC=8時,則“旋補(bǔ)中線”AD長為 .
(2)在圖1中,當(dāng)△ABC為任意三角形時,猜想“旋補(bǔ)中線”AD與BC的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如等邊三角形的圖案,最上面一層有一個圓圈,以下各層均比上一層多一個圓圈,一共堆了層,將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀,這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數(shù)為
如果圖中的圓圈共有13層,請解決下列問題:
(1)若自上往下,在圖①每個圓圈中填上一串連續(xù)的正整數(shù)1,2,3,4,…,得到圖3,寫出第11層最左邊這個圓圈中的數(shù);
(2)若自上往下,在圖①每個圓圈中填上一串連續(xù)的整數(shù)-23,-22,-21,20,…,得到圖4,寫出第10層最右邊圓圈內(nèi)的數(shù);
(3)根據(jù)以上規(guī)律,求圖4中第1層到第10層所有圓圈中各數(shù)之和(寫出計算過程).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】陸老師布置了一道題目:過直線l外一點(diǎn)A作l的垂線.(用尺規(guī)作圖)
小淇同學(xué)作法如下:
(1)在直線l上任意取一點(diǎn)C,連接AC;
(2)作AC的中點(diǎn)O;
(3)以O為圓心,OA長為半徑畫弧交直線l于點(diǎn)B,如圖所示;
(4)作直線AB.
則直線AB就是所要作圖形.
你認(rèn)為小淇的作法正確嗎?如果不正確,請畫出一個反例;如果正確,請給出證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】水果店張阿姨以每斤2元的價格購進(jìn)某種水果若干斤,然后以每斤4元的價格出售,每天可售出100斤,通過調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種水果每斤的售價每降低0.2元,每天可多售出40斤,為保證每天至少售出260斤,張阿姨決定降價銷售.
(1)若將這種水果每斤的售價降低x元,則每天的銷售量是斤(用含x的代數(shù)式表示);
(2)銷售這種水果要想每天盈利300元,張阿姨需將每斤的售價降低多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90,AC=BC,點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),CE⊥AD于點(diǎn)E,其延長線交AB于點(diǎn)F,連接DF.求證:∠ADC=∠BDF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A,C分別在x軸,y軸上,四邊形ABCO為矩形,AB=16,AC=20,點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)于y軸對稱,點(diǎn)E、F分別是線段AD、AC上的動點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、D重合),且∠CEF=∠ACB.
(1)直接寫出BC的長是 , 點(diǎn)D的坐標(biāo)是;
(2)證明:△AEF與△DCE相似;
(3)當(dāng)△EFC為等腰三角形時,求點(diǎn)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如果一個正整數(shù)能表示成兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差,那么這個正整數(shù)為“神秘數(shù)”.
如:
因此,4,12,20這三個數(shù)都是神秘數(shù).
(1)28和2012這兩個數(shù)是不是神秘數(shù)?為什么?
(2)設(shè)兩個連續(xù)偶數(shù)為和(其中為非負(fù)整數(shù)),由這兩個連續(xù)偶數(shù)構(gòu)造的神秘數(shù)是4的倍數(shù),請說明理由.
(3)兩個連續(xù)奇數(shù)的平方差(取正數(shù))是不是神秘數(shù)?請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)圖象的一部分,已知拋物線的對稱軸為x=2,與x軸的一個交點(diǎn)是(﹣1,0).下列結(jié)論: ①ac<0;
②4a﹣2b+c>0;
③拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)是(4,0);
④點(diǎn)(﹣3,y1),(6,y2)都在拋物線上,則有y1<y2 . 其中正確的個數(shù)為( )
A.1
B.2
C.3
D.4
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