Question

（1）如圖1，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，求證：△ACD≌△BCE；
（2）如圖2，將圖1中△DCE繞點C逆時針旋轉n°（0＜n＜45°），使∠BED=90°，又作△DCE中DE邊上的高CM，請完成圖2，并判斷線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關系，并說明理由；
（3）如圖3，在正方形ABCD中，CD=

5

，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）易證∠ACD=∠BCE，即可解題；
（2）根據(jù)△ACD≌△BCE，即可證明AD=EB，即可解題；
（3）易證△DPE∽△BAE，即可求得PE的值，即可解題．

解答：解：（1）∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，

CD=CD ∠ACD=∠BCE AC=BC

，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
（2）如圖2，

在△ACD和△BCE中，

CD=CD ∠ACD=∠BCE AC=BC

，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，∠BEC=∠ADC=135°，
∴A、D、E三點共線，
∵DE=DM+ME=2CM，
∴AE=BE+2CM；
（3）①如圖，

∵∠DPE=∠BAE=90°，
∴△DPE∽△BAE，
∴

PD

AB

=

ED

EB

，
∵BP=

BD2-PD2

=3，
解得PE=

1

2

，
∴A到BE距離為

AE•AB

BE

=1．
②如圖，

∵∠DPE=∠BCE=90°，
∴△DPE∽△BCE，
∴

PD

BC

=

ED

EB

，
∵BP=

BD2-PD2

=3，
∴PE=

1

2

，
∴C到BE距離為

AE•AB

BE

=1．
∴A到BE距離為

10

-1．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形對應邊比例相等的性質，考查了勾股定理的運用．