【題目】如圖,在直角梯形ABCD中,ADBC,ABBC,BC=5,CD=6,DCB=60°,等邊PMN(N為固定點(diǎn))的邊長(zhǎng)為x,邊MN在直線BC上,NC=8.將直角梯形ABCD繞點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到①的位置,再繞點(diǎn)D1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到②的位置,如此旋轉(zhuǎn)下去.

(1)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)四次,如果等邊PMN的邊長(zhǎng)為x≥5+3,求梯形與等邊三角形的重疊部分的面積;

(2)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次,如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是,求等邊PMN的邊長(zhǎng)x的范圍.

(3)將直角梯形按此方法旋轉(zhuǎn)三次,如果梯形與等邊三角形的重疊部分的面積是梯形面積的一半,求等邊PMN的邊長(zhǎng)x.

【答案】(1)S重疊部分;(2)等邊PMN的邊長(zhǎng)x的范圍為:x≥;(3)等邊三角形的邊長(zhǎng)為:﹣2

【解析】

(1)解本題要先判斷出轉(zhuǎn)2次后A點(diǎn)與N點(diǎn)的距離,根據(jù)題意,轉(zhuǎn)2次的路程應(yīng)該是CD+AD,如果過(guò)DDFBC,那么AD=BF=BC-CF,在直角三角形DCF中,CF=3,DF=3,因此AD=2那么轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后的路程是6+2=8,因此轉(zhuǎn)動(dòng)兩次后A,N兩點(diǎn)是重合的,那么再看第三次和第四次轉(zhuǎn)動(dòng)的長(zhǎng)度,即AB+BC的長(zhǎng),為5+3,那么根據(jù)題意可知,梯形完全在等邊三角形內(nèi),因此重合部分的面積其實(shí)就是梯形的面積.根據(jù)梯形的面積計(jì)算方法和已知的數(shù)據(jù)即可求出梯形的面積.
(2)本題的關(guān)鍵是要判斷出旋轉(zhuǎn)3次后哪些是重合部分,如果設(shè)旋轉(zhuǎn)3次后PNDC交于N,那么先要求出四邊形CBNK的面積是多少,如果四邊形的面積大于,則說(shuō)明四邊形CBNK只有部分在等邊三角形內(nèi),如果四邊形的面積等于,就說(shuō)明四邊形CBNK全部在等邊三角形內(nèi),這點(diǎn)對(duì)判斷等邊三角形的邊長(zhǎng)的取值范圍至關(guān)重要.那么先求四邊形CBNK的面積.由于四邊形的面積=梯形的面積-三角形NKD的面積,那么關(guān)鍵是求出三角形NDK的面積,已知了三角形的底邊ND的長(zhǎng),可過(guò)KND邊上的高KH,那么直角三角形NKH中,∠KNH=30°,NDK=120°,由此可得出∠HKD=HDK=30°,KD=AD=2,那么可求出DH,KH的長(zhǎng),也就求出了三角形NDK的面積,進(jìn)而可得出四邊形CBNK的面積為,由此可得出四邊形CBNK全部在等邊三角形內(nèi),那么可通過(guò)計(jì)算此時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)最小的情況來(lái)得出等邊三角形的邊長(zhǎng)的取值范圍,過(guò)CPM的平行線EG,然后在上下兩個(gè)直角三角形中分別求出CECG,那么EG就是等邊三角形邊長(zhǎng)的最小值,由此可得出等邊三角形的邊長(zhǎng)的取值范圍.
(3)本題要先判斷等邊三角形邊長(zhǎng)的大致范圍,因?yàn)檫@影響到重合部分的面積的計(jì)算方法,可過(guò)BPM的平行線BK,過(guò)EPM的平行線EGCDH,那么要先判斷四邊形BHEN的面積是否是梯形面積的一半,也就是求三角形BHCNDE的面積和是否為梯形面積的一半,我們可求的兩三角形的面積和小于梯形的面積的一半,那么等邊三角形的PM邊必在BKGE中間,那么我們?cè)O(shè)這邊為RK還是交CDH,那么可先求出三角形GEN的面積,然后可根據(jù)GENRNH相似,用相似比表示出三角形RNH的面積,然后再求出三角形HKE的面積,這樣四邊形RHEN的面積=三角形RNH的面積-三角形HKE的面積=梯形的面積的一半,由此可得出關(guān)于x的方程,求出x的值即可.

解:(1)過(guò)點(diǎn)D作DFBC,垂足為F,

CD=6,DCB=60°,

∴∠CDF=30°,

CF==3,DF=3,

BF=BC﹣CF=2,

又∵梯形ABCD為直角梯形,

∴∠A=B=90°而DFB=90°,

∴四邊形ABFD為矩形,

AD=BF=2,

A2D1+D1C=2+6=8,

NC=8,

∴點(diǎn)NA2重合,

C4N=B3C4+B3N=5+3

MN>5+3,

∴直角梯形與等邊三角形的重疊部分即為整個(gè)直角梯形,

S重疊部分

(2)過(guò)點(diǎn)C3作GEMP交MN于點(diǎn)G,交NP于占E,

GNE為等邊三角形,

過(guò)點(diǎn)K作KHB2N,垂足為H,

在RtNKH中KNH=30°,ND3K=120°,

∴∠KNH=NKD3,

ND3=D3K=2,

D3H=1,KH=,

SD3KH

而S梯形,

S梯形﹣SND3K=重疊部分面積,

在RtGC3B3中,GC3B3=30°,C3B3=5,

GC3

C3K=C3D3﹣D3K=6﹣2=4,

C3E=C3Ktan30°=4×

GE=GC3+C3E=,

等邊PMN的邊長(zhǎng)x的范圍為:x≥

(3)如圖:GEB3KPM,

RtB3C3H中,B3C3=5,C3=30°,

RtB3C3H的面積為:,

RtB3C3H的面積+D3NE的面積=(梯形面積的一半),

等邊三角形的一邊RK應(yīng)落在GEB3K之間,如圖所示,

等邊GNE的邊長(zhǎng)為2,面積為3

GERK,

∴△GNE∽△RNK,

SGNE:SRNK=(NE:NK)2,

設(shè)KE=x,則SGNE:SRNK=(2,

而四邊形RNEH的面積為梯形的面積的一半,即

HEK中,KE=x,KEH=30°,

SKEH,

SNRK,

,

x=

x=(負(fù)值舍去),

RN=NE+EK=,

即此時(shí)等邊三角形的邊長(zhǎng)為:

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A. B.

C. D.

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sin (αβ)sinαcosβcosαsinβ,

cos (αβ)cosαcosβsinαsinβ

例:sin 15°sin (45°30°)sin 45°cos 30°cos 45°sin 30°

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A. B. C. ﹣2 D.

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(1)y軸右側(cè),以O為位似中心,畫出A'B'C′,使它與ABC的相似比為1:2;

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(2)判斷四邊形ACDE的形狀,并給出證明;

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兩紅

一紅一白

兩白

禮金券(元)

18

24

18

1)請(qǐng)你用列表法(或畫樹狀圖法)求一次連續(xù)搖出一紅一白兩球的概率.

2)如果一名顧客當(dāng)天在本店購(gòu)物滿200元,若只考慮獲得最多的禮品券,請(qǐng)你幫助分析選擇哪種方案較為實(shí)惠.

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