Question

【題目】如圖，△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D為AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接BD，在BC邊上取一點(diǎn)E，使得CD=CE，連接AE并延長(zhǎng)交BD于點(diǎn)F．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；

（2）求證：AF⊥BD；

（3）連接CF，點(diǎn)C 關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)是Q，連接FQ，用等式表示線段CF,CQ之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）CQ=CF，理由見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；

（2）根據(jù)SAS證明△ACE ≌△BCD，得出∠1=∠2，從而證出∠BFE=∠ACE即可．

（3）過(guò)C作CG⊥CF交AF于G，再根據(jù)∠ACB=90°，得出∠3=∠4，從而證出△ACG ≌△BCF，得出CG =CF，從而得出∠CFG=45°．再根據(jù)點(diǎn)C與 Q關(guān)于BD對(duì)稱，證出△CFQ是等腰直角三角形即可．

解：（1）如圖：

（2）在△ACE和△BCD中，

∴△ACE ≌△BCD （SAS）．

∴∠1=∠2．

∵∠AEC=∠BEF，

∴∠BFE=∠ACE．

∵∠ACE=90°，∴∠AFB=90°．

∴AF⊥BD．

（3）數(shù)量關(guān)系是：CQ=CF．

過(guò)C作CG⊥CF交AF于G．

∴∠GCF=90°．

∵∠ACB=90°，∴∠3=∠4．

∵∠1=∠2，AC=BC，

∴△ACG ≌△BCF（ASA）．

∴CG =CF．∴△CGF是等腰直角三角形．

∴∠CFG=45°．∴∠CFD=45°．

∵點(diǎn)C與 Q關(guān)于BD對(duì)稱，∴CF =FQ．

∠CFD=∠QFD=45°．

∴△CFQ是等腰直角三角形．

∴CQ=CF．