【題目】如圖,分別以Rt△ABC的直角邊AC及斜邊AB向外作等邊△ACD及等邊△ABE,已知:∠BAC=30°,EF⊥AB,垂足為F,連接DF.
(1)試說明AC=EF;
(2)求證:四邊形ADFE是平行四邊形.
【答案】見解析
【解析】
試題分析:(1)首先由Rt△ABC中,由∠BAC=30°可以得到AB=2BC,又由△ABE是等邊三角形,EF⊥AB,由此得到AE=2AF,并且AB=2AF,然后證得△AFE≌△BCA,繼而證得結(jié)論;
(2)根據(jù)(1)知道EF=AC,而△ACD是等邊三角形,所以EF=AC=AD,并且AD⊥AB,而EF⊥AB,由此得到EF∥AD,再根據(jù)平行四邊形的判定定理即可證明四邊形ADFE是平行四邊形.
證明:(1)∵Rt△ABC中,∠BAC=30°,
∴AB=2BC,
又∵△ABE是等邊三角形,EF⊥AB,
∴AB=2AF
∴AF=BC,
在Rt△AFE和Rt△BCA中,
,
∴Rt△AFE≌Rt△BCA(HL),
∴AC=EF;
(2)∵△ACD是等邊三角形,
∴∠DAC=60°,AC=AD,
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°
又∵EF⊥AB,
∴EF∥AD,
∵AC=EF,AC=AD,
∴EF=AD,
∴四邊形ADFE是平行四邊形.
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