【題目】已知拋物線=(≠0)與軸交于AB兩點,與軸交于C點,其對稱軸為=1,且A(-1,0)C(0,2).
(1)直接寫出該拋物線的解析式;
(2)P是對稱軸上一點,△PAC的周長存在最大值還是最小值?請求出取得最值(最大值或最小值)時點P的坐標;
(3)設(shè)對稱軸與軸交于點H,點D為線段CH上的一動點(不與點CH重合).點P是(2)中所求的點.過點D作DE∥PC交軸于點E.連接PDPE.若CD的長為,△PDE的面積為S,求S與之間的函數(shù)關(guān)系式,試說明S是否存在最值,若存在,請求出最值,并寫出S取得的最值及此時的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1) =-++2;(2) P(1,);(3)見解析.
【解析】分析:
(1)由已知條件易得點B的坐標為(3,0),這樣結(jié)合點A、C的坐標即可求得拋物線的解析式;
(2)由題意可知,AC長度是固定值,點A和點B關(guān)于直線x=1對稱,由此可得連接BC交直線x=1于點P,此時△PAC的周長最小,求得直線BC的解析式,即可求得此時點P的坐標;
(3)如圖2,畫出符合題意的圖形,過點D作DF⊥y軸于點F,交對稱軸x=1于點N,在Rt△OCH中易得CH=,由Rt△CDF∽Rt△CHO,可將CF、OF和FD用含m的代數(shù)式表達出來,從而可表達出點D和點N的坐標,再用待定系數(shù)法求得用含m的代數(shù)式表達的DE的解析式,即可表達出點E的坐標和點Q的坐標,然后由S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=即可得到S與m間的函數(shù)關(guān)系式,將所得解析式化簡、配方即可得到所求答案.
詳解:
(1)∵拋物線=(≠0)與軸交于AB兩點,其對稱軸為=1,且A(-1,0),
∴點B的坐標為(3,0),
∴可設(shè)拋物線解析式為:,
∵拋物線和y軸交于點C(0,2),
∴,解得:,
∴,即;
(2)△PAC的周長有最小值,連結(jié)ACBC,
∵AC的長度一定,
∴要使△PAC的周長最小,就是使PA+PC最小.
∵點A關(guān)于對稱軸=1的對稱點是B點,
∴BC與對稱軸的交點即為所求的點P(如圖2),
設(shè)直線BC的表達為:=,則有
,解得,∴:=-+2,
把=1代入,得=,
即點P的坐標為P(1,),
∴△PAC的周長取得最小值,取得最小值時點P的坐標為P(1,);
(3)如圖2,設(shè)DE對稱軸x=1于點Q,
在Rt△COH中,由勾股定理得CH===.
過點D作DF⊥軸于點F,交對稱軸=1于點N,
∵Rt△CDF∽Rt△CHO,
∴,
∴CF===,OF=CO-CF=2-;
同樣: ,FD===,
∴點D的坐標為D(,2-),
∴N(1,2-).
∵DE∥BC,
∴可設(shè)(過點DE的直線):=-+,
把D點坐標代入其中,得- +=2-,
解得=2-,
∴:=-+2-,
點E的縱坐標為0,代入其中,解得=3-,
∴E(3-,0).
∵點Q在對稱軸=1上,把=1代入中,解得=-,
∴Q(1,-).
PQ=-(-)=,DN=1-,
EH=3--1=2-.
S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=PQ·DN+PQ·EH
=PQ(DN+EH)=·(1-+2-),
化簡得S=-+,
可知S是關(guān)于的二次函數(shù).
S存在最大值.
配方可得:S=-+,由此可得,S取得最大值為,
取得最大值時的值為:=.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校一棟5層的教學(xué)大樓,第一層沒有教室,二至五層,每層樓有6間教室,進出這棟大樓共有兩道大小相同的大門和一道小門(平時小門不開).安全檢查中,對這3道門進行了測試:當同時開啟一道大門和一道小門時,3分鐘內(nèi)可以通過540名學(xué)生,若一道大門平均每分鐘比一道小門可多通過60名學(xué)生.
(1)求平均每分鐘一道大門和一道小門各可以通過多少名學(xué)生?
(2)檢查中發(fā)現(xiàn),緊急情況時因?qū)W生擁擠,出門的效率降低20%.安全檢查規(guī)定:在緊急情況下全大樓的學(xué)生應(yīng)在5分鐘內(nèi)安全撤離.這棟教學(xué)大樓每間教室平均有45名學(xué)生,問:在緊急情況下只開啟兩道大門是否可行?為什么?3道門都開啟呢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖6,在平面直角坐標系中,一次函數(shù)=+1的圖象交軸于點D,與反比例函數(shù)=的圖象在第一象限相交于點A.過點A分別作軸軸的垂線,垂足為點BC.
(1)點D的坐標為 ;
(2)當AB=4AC時,求值;
(3)當四邊形OBAC是正方形時,直接寫出四邊形ABOD與△ACD面積的比.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知a是最大的負整數(shù),b是-5的相反數(shù),c=,且a、b、c分別是點A、B、C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù).若動點P從點A出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動,動點Q同時從點B出發(fā)也沿數(shù)軸正方向運動,點P的速度是每秒3個單位長度,點Q的速度是每秒1個單位長度.
(1)求a、b、c的值;
(2)P、Q同時出發(fā),求運動幾秒后,點P可以追上點Q?
(3)在(2)的條件下,P、Q出發(fā)的同時,動點M從點C出發(fā)沿數(shù)軸正方向運動,速度為每秒6個單位長度,點M追上點Q后立即返回沿數(shù)軸負方向運動,追上后點M再運動幾秒,M到Q的距離等于M到P距離的兩倍?
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【題目】一天,某交警巡邏車在東西方向的青年路上巡邏,他從崗?fù)?/span>出發(fā),晚上停留在處.規(guī)定向東方向為正,向西方向為負,當天行駛情況記錄如下(單位:千米):
+5,-8,+10,-12,+6,-18,+5,-2.
(1)處在崗?fù)?/span>的什么方向?距離崗?fù)?/span>多遠?
(2)若巡邏車每行駛1千米耗油0.1升,這一天共耗油多少升?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】計算題:
(1)(-14)-(-15) (2) 23×(1-)×0.5.
(3)×(-5)(用簡便方法計算) (4) (1-+)×(-48)
(5)(-10)÷×2 +(-4)3; (6)-12-(-)÷×[-2+(-3)2].
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市水果批發(fā)部門欲將 A 市的一批水果運往本市銷售,有火車和汽車兩種運輸方式,運輸過程中的損耗均為 200 元/ 時.其它主要參考數(shù)據(jù)如下:
運輸工具 | 途中平均速度(千米/ 時) | 運費(元/ 千米) | 裝卸費用(元) |
火車 | 100 | 15 | 2000 |
汽車 | 80 | 20 | 900 |
運輸過程中,火車因多次臨時停車,全程在路上耽誤 2 小時 45 分鐘,火車的總支出費用與汽車的總支出費用相同,請問某市與本地的路程是多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在平面直角坐標系中,拋物線與x軸相交于點A,B,與y軸相交于點C. 已知A,C兩點的坐標分別為A(-4,0), C(0,4).
(1)求拋物線的表達式;
(2)如果點P,Q在拋物線上(P點在對稱軸左邊),且PQ∥AO,PQ=2AO,求P,Q的坐標;
(3)動點M在直線y=x+4上,且△ABC與△COM相似,求點M的坐標.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,BC=2,O、H分別為邊AB、AC的中點,將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)120°到△A1BC1的位置,則整個旋轉(zhuǎn)過程中線段OH所掃過部分的面積(即陰影部分面積)為_____.
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