【題目】如圖,拋物線與軸交于 兩點,與軸的正半軸交于點,其頂點為.
(1)寫出兩點的坐標(用含的式子表示);
(2)設 ,求的值;
(3)當是直角三角形時,求對應拋物線的解析式.
【答案】(1)C(0,3a),D(2,﹣a);(2)3;(3)y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+.
【解析】
試題分析:(1)令x=0可求得C點坐標,化為頂點式可求得D點坐標;
(2)令y=0可求得A、B的坐標,結合D點坐標可求得△ABD的面積,設直線CD交x軸于點E,由C、D坐標,利用待定系數(shù)法可求得直線CD的解析式,則可求得E點坐標,從而可表示出△BCD的面積,可求得k的值;
(3)由B、C、D的坐標,可表示出BC2、BD2和CD2,分∠CBD=90°和∠CDB=90°兩種情況,分別利用勾股定理可得到關于a的方程,可求得a的值,則可求得拋物線的解析式.
試題解析:(1)在y=a(x﹣1)(x﹣3),令x=0可得y=3a,
∴C(0,3a),
∵y=a(x﹣1)(x﹣3)=a(x2﹣4x+3)=a(x﹣2)2﹣a,
∴D(2,﹣a);
(2)在y=a(x﹣1)(x﹣3)中,令y=0可解得x=1或x=3,
∴A(1,0),B(3,0),
∴AB=3﹣1=2,
∴S△ABD=×2×a=a,
如圖,設直線CD交x軸于點E,設直線CD解析式為y=kx+b,
把C、D的坐標代入可得,解得,
∴直線CD解析式為y=﹣2ax+3a,令y=0可解得x=,
∴E(,0),
∴BE=3﹣=
∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××(3a+a)=3a,
∴S△BCD:S△ABD=(3a):a=3,
∴k=3;
(3)∵B(3,0),C(0,3a),D(2,﹣a),
∴BC2=32+(3a)2=9+9a2,CD2=22+(﹣a﹣3a)2=4+16a2,BD2=(3﹣2)2+a2=1+a2,
∵∠BCD<∠BCO<90°,
∴△BCD為直角三角形時,只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況,
①當∠CBD=90°時,則有BC2+BD2=CD2,即9+9a2+1+a2=4+16a2,解得a=﹣1(舍去)或a=1,此時拋物線解析式為y=x2﹣4x+3;
②當∠CDB=90°時,則有CD2+BD2=BC2,即4+16a2+1+a2=9+9a2,解得a=﹣(舍去)或a=,此時拋物線解析式為y=x2﹣2x+;
綜上可知當△BCD是直角三角形時,拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3或y=x2﹣2x+.
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【題目】下列調查中,適合采用全面調查(普查)方式的是( )
A.了解湖南衛(wèi)視的收視率
B.了解湘江中草魚種群數(shù)量
C.了解全國快遞包裹產生包裝垃圾的數(shù)量
D.了解某班同學“跳繩”的成績
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【題目】某市出租車計費方法如圖所示,x(km)表示行駛里程,y(元)表示車費,請根據(jù)圖象回答下面的問題:
(1)出租車的起步價是多少元?當x>3時,求y關于x的函數(shù)關系式.
(2)若某乘客有一次乘出租車的車費為32元,求這位乘客乘車的里程.
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【題目】用“☆”定義一種新運算:對于任意有理數(shù)a和b,規(guī)定a☆b = ab2 + a.如:1☆3=1×32+1=10. 則(-2)☆3的值為( )
A.10B.-15C.-16D.-20
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【題目】已知線段AB=6cm,BC=4cm,則AC的取值范圍是( 。
A. AC≥2cm B. AC≤10cm C. 2cm≤AC≤10cm D. 無法判定
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【題目】湘西土家族苗族自治州6月2日至6月8日最高氣溫(℃)統(tǒng)計如下表:
日期 | 2日 | 3日 | 4日 | 5日 | 6日 | 7日 | 8日 |
最高氣溫℃ | 28 | 25 | 25 | 30 | 32 | 28 | 27 |
則這七天最高氣溫的中位數(shù)為( )
A.25℃
B.27℃
C.28℃
D.30℃
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