【題目】如圖,正方形OABC的邊OA,OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(﹣4,4).點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng);點(diǎn)Q從點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),以相同的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng),規(guī)定點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)O時(shí),點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng).連接BP,過(guò)P點(diǎn)作BP的垂線,與過(guò)點(diǎn)Q平行于y軸的直線l相交于點(diǎn)D.BD與y軸交于點(diǎn)E,連接PE.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s).
(1)∠PBD的度數(shù)為 , 點(diǎn)D的坐標(biāo)為(用t表示);
(2)當(dāng)t為何值時(shí),△PBE為等腰三角形?
(3)探索△POE周長(zhǎng)是否隨時(shí)間t的變化而變化?若變化,說(shuō)明理由;若不變,試求這個(gè)定值.
【答案】
(1)解:45°;(t,t)
(2)解:①若PB=PE,
由△PAB≌△DQP得PB=PD,
顯然PB≠PE,
∴這種情況應(yīng)舍去.
②若EB=EP,
則∠PBE=∠BPE=45°.
∴∠BEP=90°.
∴∠PEO=90°﹣∠BEC=∠EBC.
在△POE和△ECB中,
∴△POE≌△ECB(AAS).
∴OE=CB=OC.
∴點(diǎn)E與點(diǎn)C重合(EC=0).
∴點(diǎn)P與點(diǎn)O重合(PO=0).
∵點(diǎn)B(﹣4,4),
∴AO=CO=4.
此時(shí)t=AP=AO=4.
③若BP=BE,
在Rt△BAP和Rt△BCE中,
∴Rt△BAP≌Rt△BCE(HL).
∴AP=CE.
∵AP=t,
∴CE=t.
∴PO=EO=4﹣t.
∵∠POE=90°,
∴PE=
= (4﹣t).
延長(zhǎng)OA到點(diǎn)F,使得AF=CE,連接BF,如圖2所示.
在△FAB和△ECB中,
∴△FAB≌△ECB.
∴FB=EB,∠FBA=∠EBC.
∵∠EBP=45°,∠ABC=90°,
∴∠ABP+∠EBC=45°.
∴∠FBP=∠FBA+∠ABP
=∠EBC+∠ABP=45°.
∴∠FBP=∠EBP.
在△FBP和△EBP中,
∴△FBP≌△EBP(SAS).
∴FP=EP.
∴EP=FP=FA+AP
=CE+AP.
∴EP=t+t=2t.
∴ (4﹣t)=2t.
解得:t=4 ﹣4
∴當(dāng)t為4秒或(4 ﹣4)秒時(shí),△PBE為等腰三角形
(3)解:∵EP=CE+AP,
∴OP+PE+OE=OP+AP+CE+OE
=AO+CO
=4+4
=8.
∴△POE周長(zhǎng)是定值,該定值為8
【解析】解:(1)如圖1,
由題可得:AP=OQ=1×t=t(秒)
∴AO=PQ.
∵四邊形OABC是正方形,
∴AO=AB=BC=OC,
∠BAO=∠AOC=∠OCB=∠ABC=90°.
∵DP⊥BP,
∴∠BPD=90°.
∴∠BPA=90°﹣∠DPQ=∠PDQ.
∵AO=PQ,AO=AB,
∴AB=PQ.
在△BAP和△PQD中,
∴△BAP≌△PQD(AAS).
∴AP=QD,BP=PD.
∵∠BPD=90°,BP=PD,
∴∠PBD=∠PDB=45°.
∵AP=t,
∴DQ=t.
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(t,t).
故答案為:45°,(t,t).
(1)易證△BAP≌△PQD,從而得到DQ=AP=t,從而可以求出∠PBD的度數(shù)和點(diǎn)D的坐標(biāo).(2)由于∠EBP=45°,故圖1是以正方形為背景的一個(gè)基本圖形,容易得到EP=AP+CE.由于△PBE底邊不定,故分三種情況討論,借助于三角形全等及勾股定理進(jìn)行求解,然后結(jié)合條件進(jìn)行取舍,最終確定符合要求的t值.(3)由(2)已證的結(jié)論EP=AP+CE很容易得到△POE周長(zhǎng)等于AO+CO=8,從而解決問(wèn)題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)D作DP∥OC,且DP=OC,連接CP.
(1)判斷四邊形CODP的形狀并說(shuō)明理由;
(2)如圖②,如果題目中的矩形變?yōu)榱庑,判斷四邊?/span>CODP的形狀并說(shuō)明理由;
(3)如圖③,如果題目中的矩形變?yōu)檎叫危袛嗨倪呅?/span>CODP的形狀并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀材料:
對(duì)于線段的垂直平分線我們有如下結(jié)論:到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.即如圖①,若PA=PB,則點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上.
請(qǐng)根據(jù)閱讀材料,解決下列問(wèn)題:
如圖②,直線CD是等邊△ABC的對(duì)稱軸,點(diǎn)D在AB上,點(diǎn)E是線段CD上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合),連結(jié)AE、BE,△ABE經(jīng)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與△BCF重合.
(1)旋轉(zhuǎn)中心是點(diǎn) ,旋轉(zhuǎn)了 (度);
(2)當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動(dòng)時(shí),連結(jié)AF,設(shè)AF與CD交于點(diǎn)P,在圖②中將圖形補(bǔ)全,并探究∠APC的大小是否保持不變?若不變,請(qǐng)求出∠APC的度數(shù);若改變,請(qǐng)說(shuō)出變化情況.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生體育訓(xùn)練的情況,某市從全市九年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行了一次體育科目測(cè)試(把成績(jī)結(jié)果分為四個(gè)等級(jí):A級(jí):優(yōu)秀;B級(jí):良好;C級(jí):及格;D級(jí):不及格),并將測(cè)試結(jié)果繪成了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中的信息解答下列問(wèn)題:
(1)求本次抽樣測(cè)試的學(xué)生人數(shù);
(2)求扇形圖中∠α的度數(shù),并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)該市九年級(jí)共有學(xué)生9000名,如果全部參加這次體育測(cè)試,則測(cè)試等級(jí)為D的約有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖①,在矩形ABCD中,AB=10 cm,BC=8 cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→B→C→D的路線運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)D停止;點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā),沿D→C→B→A的路線運(yùn)動(dòng),到點(diǎn)A停止.若點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)出發(fā),點(diǎn)P的速度為每秒1 cm,點(diǎn)Q的速度為每秒2 cm,a秒時(shí),點(diǎn)P、點(diǎn)Q同時(shí)改變速度,點(diǎn)P的速度變?yōu)槊棵?/span>b cm,點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵?/span>d cm.圖②是點(diǎn)P出發(fā)x秒后△APD的面積S1(cm2)與時(shí)間x(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象;圖③是點(diǎn)Q出發(fā)x秒后△AQD的面積S2(cm2)與時(shí)間x(秒)的函數(shù)關(guān)系圖象.
(1)參照?qǐng)D②,求a、 b及圖②中c的值;
(2)求d的值;
(3)設(shè)點(diǎn)P離開(kāi)點(diǎn)A的路程為y1(cm),點(diǎn)Q到點(diǎn)A還需要走的路程為y2(cm),請(qǐng)分別寫出改變速度后,y1、y2與出發(fā)后的運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(秒)的函數(shù)關(guān)系式,并求出點(diǎn)P、點(diǎn)Q相遇時(shí)x的值;
(4)當(dāng)點(diǎn)Q出發(fā)__ __秒時(shí),點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路程為25 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A為函數(shù)y= (x>0)圖象上一點(diǎn),連結(jié)OA,交函數(shù)y= (x>0)的圖象于點(diǎn)B,點(diǎn)C是x軸上一點(diǎn),且AO=AC,則△ABC的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】下列等式成立的是( )
A. (-a-b)2+(a-b)2=-4ab B. (-a-b)2+(a-b)2=a2+b2
C. (-a-b)(a-b)=(a-b)2 D. (-a-b)(a-b)=b2-a2
【答案】D
【解析】解析:∵(-a-b)2+(a-b)2=(a+b)2+(a-b)2=(a2+2ab+b2)+(a2-2ab+b2)=2a2+2b2,
∴選項(xiàng)A與選項(xiàng)B錯(cuò)誤;
∵(-a-b)(a-b)=-(a+b)(a-b)=-(a2-b2)=b2-a2,∴選項(xiàng)C錯(cuò)誤,選項(xiàng)D正確.
故選D.
【題型】單選題
【結(jié)束】
8
【題目】若x=1,y=,則x2+4xy+4y2的值是( )
A. 2 B. 4 C. 32 D. 12
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)是26cm,對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,AC⊥AB,E是BC中點(diǎn),△AOD的周長(zhǎng)比△AOB的周長(zhǎng)多3cm,則AE的長(zhǎng)度為( )
A.3cm
B.4cm
C.5cm
D.8cm
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】閱讀下列材料并回答問(wèn)題: 材料1:如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,記 ,那么三角形的面積為 . ①
古希臘幾何學(xué)家海倫(Heron,約公元50年),在數(shù)學(xué)史上以解決幾何測(cè)量問(wèn)題而聞名.他在《度量》一書中,給出了公式①和它的證明,這一公式稱海倫公式.
我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶(約1202﹣﹣約1261),曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式: . ②
下面我們對(duì)公式②進(jìn)行變形: = = = = = .
這說(shuō)明海倫公式與秦九韶公式實(shí)質(zhì)上是同一公式,所以我們也稱①為海倫﹣﹣秦九韶公式.
問(wèn)題:如圖,在△ABC中,AB=13,BC=12,AC=7,⊙O內(nèi)切于△ABC,切點(diǎn)分別是D、E、F.
(1)求△ABC的面積;
(2)求⊙O的半徑.
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