【題目】如圖1,拋物線y=ax2+bx+2與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,AB=4,矩形OBDC的邊CD=1,延長DC交拋物線于點E.

(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖2,點P是直線EO上方拋物線上的一個動點,過點P作y軸的平行線交直線EO于點G,作PH⊥EO,垂足為H.設PH的長為l,點P的橫坐標為m,求l與m的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出m的取值范圍),并求出l的最大值;

(3)如果點N是拋物線對稱軸上的一點,拋物線上是否存在點M,使得以M,A,C,N為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出所有滿足條件的點M的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵矩形OBDC的邊CD=1,

∴OB=1,

∵AB=4,

∴OA=3,

∴A(﹣3,0),B(1,0),

把A、B兩點坐標代入拋物線解析式可得 ,解得 ,

∴拋物線解析式為y=﹣ x2 x+2;


(2)

解:在y=﹣ x2 x+2中,令y=2可得2=﹣ x2 x+2,解得x=0或x=﹣2,

∴E(﹣2,2),

∴直線OE解析式為y=﹣x,

由題意可得P(m,﹣ m2 m+2),

∵PG∥y軸,

∴G(m,﹣m),

∵P在直線OE的上方,

∴PG=﹣ m2 m+2﹣(﹣m)=﹣ m2 m+2=﹣ (m+ 2+ ,

∵直線OE解析式為y=﹣x,

∴∠PGH=∠COE=45°,

∴l(xiāng)= PG= [﹣ (m+ 2+ ]=﹣ (m+ 2+ ,

∴當m=﹣ 時,l有最大值,最大值為 ;


(3)

解:①當AC為平行四邊形的邊時,則有MN∥AC,且MN=AC,如圖,過M作對稱軸的垂線,垂足為F,設AC交對稱軸于點L,

則∠ALF=∠ACO=∠FNM,

在△MFN和△AOC中

∴△MFN≌△AOC(AAS),

∴MF=AO=3,

∴點M到對稱軸的距離為3,

又y=﹣ x2 x+2,

∴拋物線對稱軸為x=﹣1,

設M點坐標為(x,y),則|x+1|=3,解得x=2或x=﹣4,

當x=2時,y=﹣ ,當x=﹣4時,y=

∴M點坐標為(2,﹣ )或(﹣4,﹣ );

②當AC為對角線時,設AC的中點為K,

∵A(﹣3,0),C(0,2),

∴K(﹣ ,1),

∵點N在對稱軸上,

∴點N的橫坐標為﹣1,

設M點橫坐標為x,

∴x+(﹣1)=2×(﹣ )=﹣3,解得x=﹣2,此時y=2,

∴M(﹣2,2);

綜上可知點M的坐標為(2,﹣ )或(﹣4,﹣ )或(﹣2,2).


【解析】(1)由條件可求得A、B的坐標,利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;(2)可先求得E點坐標,從而可求得直線OE解析式,可知∠PGH=45°,用m可表示出PG的長,從而可表示出l的長,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值;(3)分AC為邊和AC為對角線,當AC為邊時,過M作對稱軸的垂線,垂足為F,則可證得△MFN≌△AOC,可求得M到對稱軸的距離,從而可求得M點的橫坐標,可求得M點的坐標;當AC為對角線時,設AC的中點為K,可求得K的橫坐標,從而可求得M的橫坐標,代入拋物線解析式可求得M點坐標.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減小;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小).

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,EF∥AD∠1=∠2,∠BAC="70"o,求∠AGD。

解:∵EF∥AD,

∴∠2=∠3( )

∵∠1=∠2,

∴∠1=∠3

∴AB∥DG ( )

∴∠BAC+ ="180"o( )

∵∠BAC=70 o,∴∠AGD= 。

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】已知:如圖,△ABC的面積為84,BC=21,現(xiàn)將△ABC沿直線BC向右平移a(0<a<21)個單位到△DEF的位置.

(1)BC邊上的高;

(2)AB=10,

①求線段DF的長;

②連結(jié)AE,當△ABE時等腰三角形時,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】對于實數(shù)p,q,我們用符號min{p,q}表示p,q兩數(shù)中較小的數(shù),如min{1,2}=1,因此,min{﹣ ,﹣ }=;若min{(x﹣1)2 , x2}=1,則x=

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】判斷下列式子中,哪些是一元一次不等式組?

(1)(2);(3);(4);(5).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,有下列判斷:①A與1是同位角;②A與B是同旁內(nèi)角;③4與1是內(nèi)錯角;④1與3是同位角. 其中正確的是 (填序號).

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】楊輝是我國南宋時期杰出的數(shù)學家和教育家,下圖是楊輝在公元1261年著作《詳解九章算法》里面的一張圖,即“楊輝三角”,該圖中有很多規(guī)律,請仔細觀察,解答下列問題:

1)圖中給出了七行數(shù)字,根據(jù)構(gòu)成規(guī)律,第8行中從右邊數(shù)第4個數(shù)是_______;

2)利用不完全歸納法探索出第行中的所有數(shù)字之和為_________

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABCD中,點E在邊BC上,點F在邊AD的延長線上,且DF=BE,EF與CD交于點G.

(1)求證:BD∥EF;
(2)若 = ,BE=4,求EC的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】如圖是一個平面直角坐標系,按要求完成下列各小題.

(1)寫出圖中的六邊形ABCDEF頂點在坐標軸上的點的坐標;

(2)說明點B與點C的縱坐標有什么特點?線段BCx軸有怎樣的位置關(guān)系?

(3)寫出點E關(guān)于y軸的對稱點E′的坐標,并指出點E′與點C有怎樣的位置關(guān)系.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案