Question

【題目】如圖，在銳角中，以為直徑的交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的切線交邊于點(diǎn)，連結(jié)．

（1）求證：．

（2）若，，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）．

【解析】

（1）連接OD，如圖，首先利用切線的性質(zhì)，得；然后利用圓周角定理的推論，得，則；再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，得，從而得．

（2）過(guò)E作于H，如圖，首先由已知，，得和的長(zhǎng)度；然后在Rt△ABD中，利用和正切的定義，得的長(zhǎng)，在Rt△CDB和Rt△ABD中，根據(jù)正切的定義得到和的值，由，即可得的值；設(shè)，在Rt△CHE和Rt△DHE中，分別根據(jù)、的值和正切的定義，用含x的式子表示出和，再根據(jù)的長(zhǎng)度關(guān)系，列出方程求得x的值，然后在在Rt△DHE中，利用勾股定理即可計(jì)算出DE的長(zhǎng)．

（1）如圖，連結(jié)，

∵是切線，∴OD⊥DE，

∴，

∵是直徑，∴

∴，

∴，

∵，∴，

∴．

（2）如圖，過(guò)E作于H，

∵，，∴，，

又∵，

∴在Rt△ABD中，，

∴在Rt△CDB中，；在Rt△ABD中，，

∵，

∴，

設(shè)，則在Rt△CHE中，；在Rt△DHE中，，

∵，∴，解得，

∴，，

∴．