Question

如圖，在直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A、B兩點（其中A在原點左側(cè)，B在原點右側(cè)），C為拋物線上一點，且直線AC的解析式為y=mx+2m（m≠0），∠CAB=45°，tan∠COB=2．
（1）求A、C的坐標(biāo)；
（2）求直線AC和拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否存在點D，使得四邊形ABCD為梯形？若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知了直線AC的解析式，可確定點A的坐標(biāo)；過C作CM⊥x軸于M，在Rt△CAM中，AM=CM，而CM=2OB，由此可得AO=BO，根據(jù)A點坐標(biāo)即可確定點C的坐標(biāo)．
（2）將C點坐標(biāo)代入直線AC的解析式中，可求得m的值，進而確定直線AC的解析式；同理，將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，通過聯(lián)立方程組求得拋物線的解析式．
（3）此題應(yīng)分作兩種情況考慮：
①AB∥CD，此時CD與x軸平行，D、C兩點關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此D點坐標(biāo)不難求得；
②AD∥BC，首先根據(jù)拋物線的解析式求得點B坐標(biāo)，進而可用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式，由于直線AD與BC平行，因此它們的斜率相同，根據(jù)A點坐標(biāo)即可確定直線AD的解析式，然后聯(lián)立拋物線的解析式，即可求得交點D的坐標(biāo)．
（由于此題已告知四邊形ABCD字母的書寫順序，因此無需考慮BD∥AC等情況．）
解答：解：（1）直線AC：y=mx+2m（m≠0）中，
當(dāng)y=0時，mx+2m=0，m（x+2）=0，
∵m≠0，
∴x=-2；
故A（-2，0）；
過C作CM⊥x軸于M；
Rt△CAM中，∠CAB=45°，則CM=AM；
Rt△COM中，tan∠COM=2，則CM=2OM，
故CM=2OM=2AM；
∵OA=2，則OM=2，CM=4，C（2，4），
∴A（-2，0），C（2，4）．

（2）將點C坐標(biāo)代入直線AC的解析式中，有：
2m+2m=4，m=1，
∴直線AC：y=x+2；
將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，有：
，
解得；
∴拋物線：y=x²+x-2；
故直線AC和拋物線的解析式分別為：y=x+2，y=x²+x-2．

（3）存在滿足條件的點D，其坐標(biāo)為（-3，4）或（5，28）；
理由：假設(shè)存在符合條件的點D，則有：
①CD∥AB，由于AB≠CD，此時四邊形ABCD是梯形；
易知拋物線的對稱性為：x=-；
由于此時CD∥x軸，
故C、D關(guān)于直線x=-對稱，
已知C（2，4），
故D（-3，4）；
②AD∥BC，顯然BC≠AD，此時四邊形ABCD是梯形；
易知B（1，0），用待定系數(shù)法可求得：
直線BC：y=4x-4；
由于AD∥BC，可設(shè)直線AD的解析式為y=4x+h，
則有：4×（-2）+h=0，
即h=8；
∴直線AD：y=4x+8；
聯(lián)立拋物線的解析式可得：
，
解得（舍去），，
故D（5，28）；
綜上所述，存在符合條件的D點，且坐標(biāo)為：D（-3，4）或（5，28）．
點評：此題考查了函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點的求法、解直角三角形、函數(shù)解析式的確定以及梯形的判定條件等知識點；要注意的是，在判定某個四邊形為梯形時，一定要滿足兩個條件：①一組對邊平行，②另一組對邊不平行（或平行的對邊不相等），兩個條件缺一不可．