Question

如圖，已知二次函數(shù)y=x²+4的頂點為B，與x軸交于點A和點C（A點在C點的右側(cè)），以A為圓心，AB長為半徑的⊙A交x軸于點D和點E（E點在D點左側(cè)）
（1）求點D、E的坐標(biāo)；
（2）點F（a，0）為x軸上一個動點（F點與D點不重合），求△DBF的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)S_△DBF=6時，點F的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點H為x軸上一點（與E點不重合），若△BOH與△BOE相似，求符合條件的H點的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）當(dāng)y=0時，x²+4=0，
解得x=3或x=-3（點A在x軸正半軸，舍去），
當(dāng)x=0時，y=0+4=4，
∴點A、B的坐標(biāo)分別為A（3，0），B（0，4），
根據(jù)勾股定理，AB===5，
3+5=8，3-5=-2，
∴點D、E的坐標(biāo)分別為D（8，0），E（-2，0）；

（2）①點F在點D的左邊時（a＜8），DF=8-a，
∴S=DF•OB=（8-a）×4=-2a+16，
②點F在點D的右邊時（a＞8），DF=a-8，
∴S=DF•OB=（a-8）×4=2a-16，
當(dāng)S_△DBF=6時，-2a+16=6，解得a=5，
或2a-16=6，解得a=11，
∴點F的坐標(biāo)是（5，0）或（11，0），
∴S與a的函數(shù)關(guān)系式為：S=-2a+16或S=2a-16；點F的坐標(biāo)是（5，0）或（11，0）；

（3）根據(jù)（1）的結(jié)論，OE=2，OB=4，
∴①△BOE的邊OE與△BOH的邊OB是對應(yīng)邊時，
=，
即=，
解得OH=8，
②△BOE的邊OE與△BOH的邊OH是對應(yīng)邊時，
=，
即=，
解得OH=2，
∵點H與E點不重合，
∴點H的坐標(biāo)是（8，0）或（-8，0）或（2，0）．
分析：（1）先根據(jù)二次函數(shù)解析式求出點A、B的坐標(biāo)，再利用勾股定理求出AB的長度，然后根據(jù)點A的坐標(biāo)與圓的半徑即可求解點D、E的坐標(biāo)；
（2）分①點F在點D的左邊，②點F在點D的右邊，兩種情況分別求出DF的長度，然后利用三角形的面積公式列式求解即可，把面積為6代入關(guān)系式求出a的值即可得到點F的坐標(biāo)；
（3）分①△BOE的邊OE與△BOH的邊OB是對應(yīng)邊，②△BOE的邊OE與△BOH的邊OH是對應(yīng)邊，兩種情況求出OH的長，然后再根據(jù)點H在原點左邊與右邊兩種情況分別求出點H的坐標(biāo)．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，包括二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點問題，三角形的面積求解，相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，注意求解時要分情況討論，避免漏解而導(dǎo)致出錯．