Question

19．對于兩個已知圖形G₁，G₂，在G₁上任取一點P，在G₂上任取一點Q，當線段PQ的長度最小時，我們稱這個最小長度為G₁，G₂的“密距”，用字母d表示；當線段PQ的長度最大時，我們稱這個最大的長度為圖形G₁，G₂的“疏距”，用字母f表示．例如，當M（1，2），N（2，2）時，點O與線段MN的“密距”為$\sqrt{5}$，點O與線段MN的“疏距”為2$\sqrt{2}$．
（1）已知，在平面直角坐標系xOy中，A（-2，0），B（0，4），C（2，0），D（0，1），
①點O與線段AB的“密距”為$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，“疏距”為4；
②線段AB與△COD的“密距”為$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，“疏距”為2$\sqrt{5}$；
（2）直線y=2x+b與x軸，y軸分別交于點E，F(xiàn)，以C（0，-1）為圓心，1為半徑作圓，當⊙C與線段EF的“密距”0＜d＜1時，求⊙C與線段EF的“疏距”f的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)垂線段最短，利用三角形的面積公式即可求得密距，求得線段的端點到O的距離即可求得疏距；
（2）分成當點F在y軸的正半軸時，當點F在y軸的負半軸，兩種情況進行討論，解法與（1）相同．

解答 解：（1）①如圖1所示：過點O作OE⊥AB，垂足為E，DF⊥AB，垂足為F．

∵A（-2，0），B（0，4），
∴OA=2，OB=4．
∴點O與線段AB的疏距=OB=4．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∵S_△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OB=$\frac{1}{2}$AB•OE，
∴OE=$\frac{AB•OB}{AB}$=$\frac{2×4}{2\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$．
∵FD⊥AB，OE⊥AB，
∴DF∥OE．
∴△BFD∽△BEO．
∴$\frac{DF}{OE}=\frac{BD}{OB}$，即DF=$\frac{3}{4}$OE=$\frac{3}{4}×\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴△ODC與線段AB的密距為=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
在△OBC中，BC=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴△ODC與AB的數(shù)據(jù)為2$\sqrt{5}$．
故答案為：①$\frac{4\sqrt{5}}{5}$；4；②$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；2$\sqrt{5}$．
（2）①當點F在y軸的正半軸時，如圖2．
當E在O時，密距時0，此時疏距是2．

CE'=2，OC=1，
則OE'=$\sqrt{CE{'}^{2}-O{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
在直角△OE'F'中，OF'=2OE'=2$\sqrt{3}$，
則此時，疏距是2$\sqrt{3}$+2．
所以2＜f＜2$\sqrt{3}$+2．
②當點F在y軸的負半軸時，如圖3所示．

∵EF的解析式為y=2x+b，
∴tan∠OEF=2，
∴OE：EF=1：$\sqrt{5}$．
當d=0時，MC=1，直線EF與圓C相切，則∠CMF=∠EOF=90°，
又∵∠OFE=∠CFM，
∴△CMF∽△EOF．
∴$\frac{CM}{CF}=\frac{OE}{EF}$，即$\frac{1}{CF}=\frac{1}{\sqrt{5}}$
當d=1時，
如圖3，QH=1，則PH=2，
∵Rt△PHF∽Rt△OEF，
∴PF=2$\sqrt{5}$，
∴OF=2$\sqrt{5}$+1，
∴$\sqrt{5}$+1＜f＜2$\sqrt{5}$+1．
當點F在y軸的負半軸時，
當d=0時，如圖2，f=$\sqrt{5}$+1；
當d=1時，
如圖3，QH=1，則PH=2，
∵Rt△PHF∽Rt△OEF，
∴PF=2$\sqrt{5}$，
∴OF=2$\sqrt{5}$+1，
∴$\sqrt{5}$+1＜f＜2$\sqrt{5}$+1．
綜上所述，當0＜d＜1時，f的取值范圍，$\sqrt{5}$+1＜f＜2$\sqrt{5}$+1．

點評 本題考查了一次函數(shù)的應用和相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解題目中介紹的“密距”和“疏距”的定義是關(guān)鍵．