Question

【題目】如圖，是的直徑，延長至點，過點作的切線，切點為，過點向的延長線作垂線交該延長線于點，交于點，已知，．

求的長；

連結(jié)，延長交于，連結(jié)．

①求的長；

②求證：是的切線．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②見解析

【解析】

（1）在直角△OPC中，利用勾股定理即可得到圓的半徑長，然后利用相似三角形的性質(zhì)求得BE的長；

（2）①證明△OBD是等邊三角形，即可求得DE的長；

②首先證明△OPC≌△OPF，根據(jù)切線的判定定理即可證得．

（1）設(shè)圓的半徑是r，則OP=PA+r=1+r，OC=r，PC=r．

∵PC是圓的切線，∴∠PCO=90°，在直角△PCO中，PC2+OC2=OP2，即（r）2+r2=（1+r）2，解得：r=1或r=﹣（舍去負(fù)值）．

在直角△OPC中，cos∠POC==，∴∠POC=60°．

∵∠PCO=90°，BE⊥BC，∴BE∥OC，∴△OPC∽△BPE，∠OBD=∠POC=60°，∴==，∴BE=OC=；

（2）①在△OBD中，OB=OD，∠OBD=60°，∴△OBD是等邊三角形，BD=OB=1，∠BOD=60°，∴DE=BE﹣BD=﹣1=；

②∵∠POC=60°，∠BOD=60°，∴∠POF=60°，∴∠POC=∠POF．在△OPC和△OPF中，∵，△OPC≌△OPF（SAS），∴∠OFP=∠OCP=90°，∴PF是⊙O的切線．