如圖,在平面直角坐標系中,A(0,2),B(-1,0),Rt△AOC的面積為4.
(1)求點C的坐標;
(2)拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A、B、C三點,求拋物線的解析式和對稱軸;
(3)設(shè)點P(m,n)是拋物線在第一象限部分上的點,△PAC的面積為S,求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求使S最大時點P的坐標.
考點:二次函數(shù)綜合題
專題:
分析:(1)由A(0,2),可得OA=2,再由Rt△AOC的面積為4,得OC的值,即可求了C點的坐標,
(2)設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+bx+c,把A(0,2),B(-1,0),C(4,0)代入,即可求出拋物線的解析式,可得出對稱軸,
(3)由點A,C的坐標,可求出直線AC的解析式,過點P作PQ⊥x軸于H,交直線AC于Q,過點P作PM⊥AC于點M,由OA=2,OC=4,可得AC的值,從而得出cos∠ACO的值,設(shè)P(m,n),Q(m,-
1
2
m+2),可求出PQ,利用
PM
PQ
=
2
5
5
,解得PM,由n=-
1
2
m2+
3
2
m+2,得PM=
2
5
5
×(-
1
2
m2+2m),再由三角形的面積公式即可求出S=-2m2+8m,即可得出當m=2,即P(2,3)時,S的值最大.
解答:解:(1)∵A(0,2),
∴OA=2,
∵Rt△AOC的面積為4,
1
2
OC×2=4,解得OC=4,
∴C(4,0),
(2)設(shè)拋物線的解析式為:y=ax2+bx+c,
把A(0,2),B(-1,0),C(4,0)代入,得
c=2
0=a-b+c
0=16a+4b+c

解得
a=-
1
2
b=
3
2
c=2

所以拋物線的解析式為:y=-
1
2
x2+
3
2
x+2,對稱軸為:x=
3
2

(3)設(shè)直線AC的解析式為:y=kx+b,代入點A(0,2),C(4,0),得:
b=2
0=4k+b
,
解得
k=-
1
2
b=2

∴直線AC的解析式為:y=-
1
2
x+2,
過點P作PQ⊥x軸于H,交直線AC于Q,過點P作PM⊥AC于點M,

∵OA=2,OC=4,
∴AC=
22+42
=2
5

∴cos∠ACO=
4
2
5
=
2
5
5
,
∵設(shè)P(m,n),Q(m,-
1
2
m+2),
∴PQ=n+
1
2
m-2,
PM
PQ
=
PM
n+
1
2
m-2
=
2
5
5
,
解得PM=
2
5
5
×(n+
1
2
m-2),
∵n=-
1
2
m2+
3
2
m+2
PM=
2
5
5
×(n+
1
2
m-2)=
2
5
5
×(-
1
2
m2+
3
2
m+2+
1
2
m-2)=
2
5
5
×(-
1
2
m2+2m),
∴S=2
5
×
2
5
5
×(-
1
2
m2+2m)=-2m2+8m,
∴S=-2(m-2)2+8,
∴當m=2,即P(2,3)時,S的值最大.
點評:本題主要考查了二次函數(shù)與方程、幾何知識的綜合應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題,善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識求解.
練習冊系列答案
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B、2(1+x)+2(1+x)2=9.5
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D、2(1+x)=9.5

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(1)求拋物線的解析式;
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A、
3
3
B、
2
2
C、
1
2
D、
3
2

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已知x=
1
2
是方程5a+12x=
1
2
+x的解,求關(guān)于x 的方程ax+2=a(1-2x)的解.

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