Question

如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，延長BC至點(diǎn)D，使DC=CB．延長DA與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為E，連結(jié)AC，CE．
（1）求證：∠B=∠D；
（2）若⊙O的半徑為2，AC=2，求CE的長．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,勾股定理

專題：

分析：（1）由AB為⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，又由DC=CB，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得AD=AB，即可證得：∠B=∠D；
（2）首先設(shè)BC=x，則AC=x-2，根據(jù)勾股定理即可得（x-2）²+x²=4，繼而求得BC的長，又可證得CE=CB=CD，繼而求得答案．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵DC=CB
∴AD=AB，
∴∠B=∠D．  

（2）設(shè)BC=x，則AC=x-2．
在Rt△ABC中，AC²+BC²=AB²，
∴（x-2）²+x²=4，
解得：x1=1+

7

，x2=1-

7

（舍去），
∵∠B=∠E，∠B=∠D，
∴∠D=∠E，
∴CD=CE，
∵CD=CB
∴CE=CB=1+

7

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理以及等腰三角形的判定與性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．