Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥AC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接AE．
（1）求證：AE與⊙O相切；
（2）連接BD，若ED：DO=3：1，OA=9，求：
①AE的長；
②tanB的值．

Answer 1

考點：切線的判定與性質,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：

分析：（1）連接OC，先證Rt△AOE≌Rt△COE，得出∠EAO=∠ECO，EC是⊙O的切線，所以∠EAO=90°，AE與⊙O相切；
（2）①根據(jù)ED：DO=3：1設出DO=t，則DE=3t，EO=4t，根據(jù)

AO

DO

=

EO

AO

，求得t=

9

2

，即EO=18，再用勾股定理即得AE的長；
②延長BD交AE于F，過O作OG∥AE交BD于G，得到△OGD∽△EFD．求得EF=3GO．因為O是AB的中點，所以AF=2GO，AE=5GO．求得GO、AF的長即可得tanB的值．

解答：解：（1）連接OC，

∵OD⊥AC，OC=OA，
∴∠AOD=∠COD．
在△AOE和△COE中

OA=O C ∠AOE=∠COE OE=OE

∴Rt△AOE≌Rt△COE（SAS），
∴∠EAO=∠ECO．
又∵EC是⊙O的切線，
∴∠ECO=90°．
∴∠EAO=90°．
∴AE與⊙O相切；
（2）①設DO=t，則DE=3t，EO=4t，
∵

AO

DO

=

EO

AO

，即

9

t

=

4t

9

，
∴t=

9

2

，即EO=18．
∴AE=

EO2-AO2

=

182-92

=9

3

；
②延長BD交AE于F，過O作OG∥AE交BD于G，

∵OG∥AE，
∴∠FED=∠GOD．
又∵∠EDF=∠ODG，
∴△OGD∽△EFD．

EF

OG

=

ED

DO

=

3

1

，即EF=3GO．
又∵O是AB的中點，
∴AF=2GO．
∴AE=AF+FE=5GO．
∴5GO=9

3

，
∴GO=

9 3

5

．
∴AF=

18 3

5

．
∴tanB=

AF

AB

=

3

5

．

點評：本題主要考查了切線的判定與性質，勾股定理，相似三角形的判定與性質，綜合性較強．