【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā),沿對(duì)角線BD向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng),速度為4cm/s,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥BD交BC于點(diǎn)Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點(diǎn)N落在射線PD上,點(diǎn)O從點(diǎn)D出發(fā),沿DC向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為3m/s,以O(shè)為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點(diǎn)P與點(diǎn)O同時(shí)出發(fā),設(shè)它們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(單位:s)(0<t< ).
(1)如圖1,連接DQ平分∠BDC時(shí),t的值為;
(2)如圖2,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值;
(3)請(qǐng)你繼續(xù)進(jìn)行探究,并解答下列問(wèn)題:
①證明:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,點(diǎn)O始終在QM所在直線的左側(cè);
②如圖3,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,當(dāng)QM與⊙O相切時(shí),求t的值;并判斷此時(shí)PM與⊙O是否也相切?說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
(2)
解:解:如圖2中,作MT⊥BC于T.
∵M(jìn)C=MQ,MT⊥CQ,
∴TC=TQ,
由(1)可知TQ= (8﹣5t),QM=3t,
∵M(jìn)Q∥BD,
∴∠MQT=∠DBC,
∵∠MTQ=∠BCD=90°,
∴△QTM∽△BCD,
∴ ,
∴ ,
∴t= (s),
∴t= s時(shí),△CMQ是以CQ為底的等腰三角形
(3)
解:①證明:如圖2中,由此QM交CD于E,
∵EQ∥BD,
∴ = ,
∴EC= (8﹣5t),ED=DC﹣EC=6﹣ (8﹣5t)= t,
∵DO=3t,
∴DE﹣DO= t﹣3t= t>0,
∴點(diǎn)O在直線QM左側(cè).
②解:如圖3中,由①可知⊙O只有在左側(cè)與直線QM相切于點(diǎn)H,QM與CD交于點(diǎn)E.
∵EC= (8﹣5t),DO=3t,
∴OE=6﹣3t﹣ (8﹣5t)= t,
∵OH⊥MQ,
∴∠OHE=90°,
∵∠HEO=∠CEQ,
∴∠HOE=∠CQE=∠CBD,
∵∠OHE=∠C=90°,
∴△OHE∽△BCD,
∴ ,
∴ ,
∴t= .
∴t= s時(shí),⊙O與直線QM相切.
連接PM,假設(shè)PM與⊙O相切,則∠OMH= PMQ=22.5°,
在MH上取一點(diǎn)F,使得MF=FO,則∠FMO=∠FOM=22.5°,
∴∠OFH=∠FOH=45°,
∴OH=FH=0.8,F(xiàn)O=FM=0.8 ,
∴MH=0.8( +1),
由 得到HE= ,
由 得到EQ= ,
∴MH=MQ﹣HE﹣EQ=4﹣ ﹣ = ,
∴0.8( +1)≠ ,矛盾,
∴假設(shè)不成立.
∴直線MQ與⊙O不相切.
【解析】(1)解:如圖1中
,
∵四邊形ABCD是矩形,
∴∠A=∠C=∠ADC=∠ABC=90°,AB=CD=6.AD=BC=8,
∴BD= = =10,
∵PQ⊥BD,
∴∠BPQ=90°=∠C,
∵∠PBQ=∠DBC,
∴△PBQ∽△CBD,
∴ ,
∴ ,
∴PQ=3t,BQ=5t,
∵DQ平分∠BDC,QP⊥DB,QC⊥DC,
∴QP=QC,
∴3t=6﹣5t,
∴t= ,
所以答案是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形OABC的邊OA,OC分別與坐標(biāo)軸重合,并且點(diǎn)B的坐標(biāo)為.將該矩形沿OB折疊,使得點(diǎn)A落在點(diǎn)E處,OE與BC的交點(diǎn)為D.
(1)求證:△OBD為等腰三角形;
(2)求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(3)坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)F,使得以點(diǎn)B,E,F(xiàn),O為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某天早晨,張強(qiáng)從家跑步去體育鍛煉,同時(shí)媽媽從體育場(chǎng)晨練結(jié)束回家,途中兩人相遇,張強(qiáng)跑到體育場(chǎng)后發(fā)現(xiàn)要下雨,立即按原路返回,遇到媽媽后兩人一起回到家(張強(qiáng)和媽媽始終在同一條筆直的公路上行走).如圖是兩人離家的距離y(米)與張強(qiáng)出發(fā)的時(shí)間x(分)之間的函數(shù)圖象,根據(jù)圖象信息解答下列問(wèn)題:
(1)求張強(qiáng)返回時(shí)的速度;
(2)媽媽比按原速返回提前多少分鐘到家?
(3)請(qǐng)直接寫(xiě)出張強(qiáng)與媽媽何時(shí)相距1000米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某工廠一周計(jì)劃每日生產(chǎn)某產(chǎn)品100噸,由于工人實(shí)行輪休,每日上班人數(shù)不一定相等,實(shí)際每日生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比情況如下表(以計(jì)劃量為標(biāo)準(zhǔn),增加的噸數(shù)記為正數(shù),減少的噸數(shù)記為負(fù)數(shù))
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減/噸 | ﹣1 | +3 | ﹣2 | +4 | +7 | ﹣5 | ﹣10 |
(1)生產(chǎn)量最多的一天比生產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)多少?lài)崳?/span>
(2)本周總生產(chǎn)量是多少?lài)?比原?jì)劃增加了還是減少了?增減數(shù)為多少?lài)崳?/span>
(3)若本周總生產(chǎn)的產(chǎn)品全部由35輛貨車(chē)一次性裝載運(yùn)輸離開(kāi)工廠,則平均每輛貨車(chē)大約需裝載多少?lài)?(結(jié)果精確到0.01噸)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線l1:y1=2x+3與直線l2:y2=kx﹣1相交于點(diǎn)A,A橫坐標(biāo)為﹣1,且直線l1與x軸交于B點(diǎn),與y軸交于D點(diǎn),直線l2與y軸交于C點(diǎn).
(1)求出A點(diǎn)的坐標(biāo)及直線l2的解析式;
(2)連接BC,求出S△ABC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】A,B兩點(diǎn)在數(shù)軸上如圖所示,其中O為原點(diǎn),點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為a,點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的有理數(shù)為b,且點(diǎn)A距離原點(diǎn)6個(gè)單位長(zhǎng)度,a.b滿足b-|a|=2.
(1)a=______;b=______;
(2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(t>0)
①當(dāng)PO=2PB時(shí),求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t:
②當(dāng)PB=6時(shí),求t的值:
(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段OB上時(shí),分別取AP和OB的中點(diǎn)E、F,則的值是否為一個(gè)定值?如果是,求出定值,如果不是,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,C 為線段 AD 上一點(diǎn),B 為 CD 的中點(diǎn),AD=13cm,BD=3cm.
(1)圖中共有 條線段;
(2)求 AC 的長(zhǎng);
(3)若點(diǎn) E 在線段 AD 上,且 BE=2cm,求 AE 的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校開(kāi)展了“我最喜愛(ài)的老師”評(píng)選活動(dòng).確定如下評(píng)選方案:有學(xué)生和教師代表對(duì)4名候選教師進(jìn)行投票,每票選1名候選教師,每位候選教師得到的教師票數(shù)的5倍與學(xué)生票數(shù)的和作為該教師的總票數(shù).以下是根據(jù)學(xué)生和教師代表投票結(jié)果繪制的統(tǒng)計(jì)表和條形統(tǒng)計(jì)圖(不完整). 學(xué)生投票結(jié)果統(tǒng)計(jì)表
候選教師 | 丁老師 | 俞老師 | 李老師 | 陳老師 |
得票數(shù) | 200 | 300 |
(1)若共有25位教師代表參加投票,則李老師得到的教師票數(shù)是多少?請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.(畫(huà)在答案卷相對(duì)應(yīng)的圖上)
(2)丁老師與李老師得到的學(xué)生總票數(shù)是600,且丁老師得到的學(xué)生票數(shù)是李老師得到的學(xué)生票數(shù)的3倍多40票,求丁老師與李老師得到的學(xué)生票數(shù)分別是多少?
(3)在(1)、(2)的條件下,若總得票數(shù)較高的2名教師推選到市參評(píng),你認(rèn)為推選到市里的是兩位老師?為什么?
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