【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)B(2,3),過(guò)點(diǎn)A的直線與y軸的負(fù)半軸相交于點(diǎn)C,且tan∠CAO=.
(1)求這條拋物線的表達(dá)式及對(duì)稱軸;
(2)聯(lián)結(jié)AB、BC,求∠ABC的正切值;
(3)若點(diǎn)D在x軸下方的對(duì)稱軸上,當(dāng)S△DBC=S△ADC時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo).
【答案】(1)y=-x2+2x+3,對(duì)稱軸x=1;(2)tan∠ABC=1;(3)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4).
【解析】
(1)把A(3,0)和點(diǎn)B(2,3)代入y=-x2+bx+c,解方程組即可解決問(wèn)題;
(2)作BE⊥OA于E.只要證明△AOC≌△BEA,再推出△ABC是等腰直角三角形,即可解決問(wèn)題;
(3)過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB交對(duì)稱軸于D,則S△DBC=S△ADC,先求出直線AB的解析式,再求出直線CD的解析式即可解決問(wèn)題.
解:(1)把A(3,0)和點(diǎn)B(2,3)代入y=-x2+bx+c得到,
,解得,
∴拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3,
∴對(duì)稱軸為x=-=1.
故拋物線的表達(dá)式為y=-x2+2x+3,對(duì)稱軸為x=1;
(2)如圖,作BE⊥OA于E.
∵A(3,0),B(2,3),tan∠CAO=,
∴OA=3,OE=2,BE=3,∴AE=1,OC=OA×tan∠CAO=1,
∴BE=OA,AE=OC,
∵∠AEB=∠AOC=90°,
∴△AOC≌△BEA(SAS),
∴AC=AB,∠CAO=∠ABE,
∵∠ABE+∠BAE=90°,
∴∠CAO+∠BAE=90°,
∴∠CAB=90°,
∴△ABC是等腰直角三角形,
∴∠ABC=45°,
∴tan∠ABC=1;
(3)如圖,過(guò)點(diǎn)C作CD∥AB交對(duì)稱軸于D,則S△DBC=S△ADC,
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,將A(3,0),B(2,3)代入得,
,解得,∴直線AB的解析式為y=-3x+9.
∵AB∥CD,設(shè)直線CD的解析式為y=-3x+m,將點(diǎn)C(0,-1)代入得,m=-1,
∴直線CD的解析式為y=-3x-1,當(dāng)x=1時(shí),y=-4,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,-4).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知等腰△ABC,∠ACB=120°,P是線段CB上一動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C,B不重合),連接AP,延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q,使得∠PAC=∠QAC,過(guò)點(diǎn)Q作射線QH交線段AP于H,交AB于點(diǎn)M,使得∠AHQ=60°.
(1)若∠PAC=α,求∠AMQ的大小(用含α的式子表示);
(2)用等式表示線段QC和BM之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在邊長(zhǎng)為個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的的網(wǎng)格中,給出了格點(diǎn)(網(wǎng)格線的交點(diǎn))為端點(diǎn)的線段
(1)將線段通過(guò)平移使得點(diǎn)和點(diǎn)重合,點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為,則應(yīng)該先將線段向 平移個(gè)單位,再向上平移 個(gè) 單位,畫(huà)出平移后對(duì)應(yīng)的線段;
(2)將線段繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 ,畫(huà)出線段
(3)填空:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某乒乓球館使用發(fā)球機(jī)進(jìn)行輔助訓(xùn)練,出球口在桌面中線端點(diǎn)A處的正上方,假設(shè)每次發(fā)出的乒乓球的運(yùn)動(dòng)路線固定不變,且落在中線上,在乒乓球運(yùn)行時(shí),設(shè)乒乓球與端點(diǎn)A的水平距離為x(米),與桌面的高度為y(米),經(jīng)多次測(cè)試后,得到如下部分?jǐn)?shù)據(jù):
x/米 | 0 | 0.2 | 0.4 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.6 | 1.8 | … |
y/米 | 0.24 | 0.33 | 0.4 | 0.45 | 0.49 | 0.45 | 0.4 | 0.33 | … |
(1)由表中的數(shù)據(jù)及函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式;
(2)試求出當(dāng)乒乓球落在桌面時(shí),其落點(diǎn)與端點(diǎn)A的水平距離是多少米?
(3)當(dāng)乒乓球落在桌面上彈起后,y與x之間滿足.
①用含a的代數(shù)式表示k;
②已知球網(wǎng)高度為0.14米,球桌長(zhǎng)(1.4×2)米.若a=-0.5,那么乒乓球彈起后,是否有機(jī)會(huì)在某個(gè)擊球點(diǎn)可以將球沿直線扣殺到端點(diǎn)A?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖1,四邊形ABCD為正方形,BF⊥AE,那么BF與AE相等嗎?為什么?
(2)如圖2,在Rt△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,D為BC邊的中點(diǎn),BE⊥AD于點(diǎn)E,交AC于F,求AF:FC的值;
(3)如圖3,Rt△ACB中,∠ABC=90°,D為BC邊的中點(diǎn),BE⊥AD于點(diǎn)E,交AC于F,若AB=3,BC=4,求CF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某縣為落實(shí)“精準(zhǔn)扶貧惠民政策”,計(jì)劃將某村的居民自來(lái)水管道進(jìn)行改造.該工程若由甲隊(duì)單獨(dú)施工恰好在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成;若乙隊(duì)單獨(dú)施工,則完成工程所需天數(shù)是規(guī)定天數(shù)的1.5倍.如果由甲、乙隊(duì)先合作施工15天,那么余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)完成還需5天.
(1)這項(xiàng)工程的規(guī)定時(shí)間是多少天?
(2)為了縮短工期以減少對(duì)居民用水的影響,工程指揮部最終決定該工程由甲、乙兩隊(duì)合作完成.則甲、乙兩隊(duì)合作完成該工程需要多少天?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD為矩形,以A為圓心,AD為半徑的弧交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接BD,若AD=2AB=4,則圖中陰影部分的面積為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】拋物線y=-2x+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0,2),B(3,-4).
(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及對(duì)稱軸;
(2)設(shè)點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為C,點(diǎn)D是拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn),記拋物線在A,B之間的部分為圖象G(包含A,B兩點(diǎn)),如果直線CD與圖象G有兩個(gè)公共點(diǎn),結(jié)合函數(shù)的圖象,求點(diǎn)D縱坐標(biāo)t的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(2,0),C(0,﹣2),直線x=m(m>2)與x軸交于點(diǎn)D.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)在直線x=m(m>2)上有一點(diǎn)E(點(diǎn)E在第四象限),使得E、D、B為頂點(diǎn)的三角形與以A、O、C為頂點(diǎn)的三角形相似,求E點(diǎn)坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);
(3)在(2)成立的條件下,拋物線上是否存在一點(diǎn)F,使得四邊形ABEF為平行四邊形?若存在,請(qǐng)求出F點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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