【題目】邊長(zhǎng)為2的正方形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,點(diǎn)D是邊OA的中點(diǎn),連接CD,點(diǎn) E在第一象限,且DE⊥DC,DE=DC.以直線AB為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線過(guò)C,E兩點(diǎn).
(1)求E點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x﹣h)2+k,求a,h,k;
(3)點(diǎn)M為直線AB上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)N為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)M,N,使得以點(diǎn)M,N,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)M,N的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】
(1)
解:過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,如圖1,
∵DE⊥DC,
∴∠CDO+∠EDF=90°,
∵∠CDO+∠OCD=90°,
∴∠OCD=∠EDF,
在△COD和△DFE中
∴△COD≌△DFE(AAS),
∴OD=EF,DF=CO,
∵CO=OA=2,D為OA中點(diǎn),
∴EF=OD=DA=1,DF=OC=2,
∴E(3,1)
(2)
解:∵拋物線y=a(x﹣h)2+k以AB為對(duì)稱(chēng)軸,
∴h=2,
∵y=a(x﹣h)2+k經(jīng)過(guò)C(0,2)和E(3,1)兩點(diǎn),
∴ ,
解得:
(3)
解:①若以DE為平行四邊形的對(duì)角線,如圖2,
此時(shí),N點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)(2, ),
由N、E兩點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線NE的解析式為:y= x;
∵DM∥EN,
∴設(shè)DM的解析式為:y= ,
將D(1,0)代入可求得b=﹣ ,
∴DM的解析式為:y= ,
令x=2,則y= ,
∴M(2, );
②過(guò)點(diǎn)C作CM∥DE交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M,連接ME,如圖3,
∵CM∥DE,DE⊥CD,
∴CM⊥CD,
∵OC⊥CB,
∴∠OCD=∠BCM,
在△OCD和△BCM中
,
∴△OCD≌△BCM(ASA),
∴CM=CD=DE,BM=OD=1,
∴CDEM是平行四邊形,
即N點(diǎn)與C占重合,
∴N(0,2),M(2,3);
③N點(diǎn)在拋物線對(duì)稱(chēng)軸右側(cè),MN∥DE,如圖4,
作NG⊥BA于點(diǎn)G,延長(zhǎng)DM交BN于點(diǎn)H,
∵M(jìn)NED是平行四邊形,
∴∠MDE=MNE,∠ENH=∠DHB,
∵BN∥DF,
∴∠ADH=∠DHB=∠ENH,
∴∠MNB=∠EDF,
在△BMN和△FED中
∴△BMN≌△FED(AAS),
∴BM=EF=1,
BN=DF=2,
∴M(2,1),N(4,2);
綜上所述,N、M分別以下組合時(shí),以點(diǎn)M,N,D,E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形
N(2, ),M(2, );
N(0,2),M(2,3);
M(2,1),N(4,2)
【解析】(1)過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,證△COD≌△DFE即可;(2)直線AB就是對(duì)稱(chēng)軸,確定了h,算出C、E兩點(diǎn)坐標(biāo),代入拋物線解析式,確定a、k;(3)分三種情況討論:N在拋物線頂點(diǎn)處;N在拋物線對(duì)稱(chēng)軸左側(cè);N在拋物線對(duì)稱(chēng)軸右側(cè).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某中學(xué)舉辦運(yùn)動(dòng)會(huì),在1500米的項(xiàng)目中,參賽選手在200米的環(huán)形跑道上進(jìn)行,如圖記錄了跑得最快的一位選手與最慢的一位選手的跑步全過(guò)程(兩人都跑完了全程),其中x代表的是最快的選手全程的跑步時(shí)間,y代表的是這兩位選手之間的距離,下列說(shuō)不合理的是( 。
A. 出發(fā)后最快的選手與最慢的選手相遇了兩次
B. 出發(fā)后最快的選手與最慢的選手第一次相遇比第二次相遇的用時(shí)短
C. 最快的選手到達(dá)終點(diǎn)時(shí),最慢的選手還有415米未跑
D. 跑的最慢的選手用時(shí)4′46″
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在等腰Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,D為斜邊AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),過(guò)D點(diǎn)作BC的垂線交其延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,在AB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)F,使得BF=CE,連接EF.
(1)若AB=2,BF=3,求AD的長(zhǎng)度;
(2)G為AC中點(diǎn),連接GF,求證:∠AFG+∠BEF=∠GFE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,拋物線L:y=ax2+bx+c與x軸交于A、B(3,0)兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),已知對(duì)稱(chēng)軸x=1.
(1)求拋物線L的解析式;
(2)將拋物線L向下平移h個(gè)單位長(zhǎng)度,使平移后所得拋物線的頂點(diǎn)落在△OBC內(nèi)(包括△OBC的邊界),求h的取值范圍;
(3)設(shè)點(diǎn)P是拋物線L上任一點(diǎn),點(diǎn)Q在直線l:x=﹣3上,△PBQ能否成為以點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形?若能,求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,OABC是一張放在平面直角坐標(biāo)系中的矩形紙片,O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸的正半軸上,點(diǎn)C在y軸的正半軸上,OA=10,OC=8.在OC邊上取一點(diǎn)D,將紙片沿AD翻折,使點(diǎn)O落在BC邊上的點(diǎn)E處,求D,E兩點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,,且.
(1)求的值;
(2)①在軸的正半軸上存在一點(diǎn),使,求點(diǎn)的坐標(biāo);
②在坐標(biāo)軸上一共存在多少個(gè)點(diǎn),使成立?請(qǐng)直接寫(xiě)出符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在長(zhǎng)方形ABCD中,DC=6cm,在DC上存在一點(diǎn)E,沿直線AE把三角形AE折疊,使點(diǎn)D恰好落在BC邊上,設(shè)此點(diǎn)為F,若三角形ABF的面積為24,那么CE長(zhǎng)度為__________cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,△ABC頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).若將△ABC以某點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心,順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△DEF,則旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo)是( )
A.(0,0)
B.(1,0)
C.(1,﹣1)
D.(2.5,0.5)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,Rt△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別是A(﹣3,2),B(0,4),C(0,2).
(1)將△ABC以點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)90°,請(qǐng)畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的△A′B′C′;
(2)在x軸上有一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小,請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).
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