【題目】問題:如圖①,在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=2,PB=,PC=1,求∠BPC的度數(shù)和等邊三角形ABC的邊長.
李明同學(xué)的思路是:將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形(如圖②),連接PP′,可得△P′PB是等邊三角形,而△PP′A又是直角三角形(由勾股定理的逆定理可證),可得∠AP′B= °,所以∠BPC=∠AP′B= °,還可證得△ABP是直角三角形,進(jìn)而求出等邊三角形ABC的邊長為 ,問題得到解決.
(1)根據(jù)李明同學(xué)的思路填空:∠AP′B= °,∠BPC=∠AP′B= °,等邊三角形ABC的邊長為 .
(2)探究并解決下列問題:如圖③,在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P,且PA=,PB=,PC=1.求∠BPC的度數(shù)和正方形ABCD的邊長.
【答案】(1)∠AP′B=150°,∠BPC=∠AP′B=150°,等邊三角形ABC的邊長為;(2)∠BPC=135°,正方形ABCD的邊長為.
【解析】
根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出AP′=CP=1,BP′=BP=,∠PBC=∠P′BA,∠AP′B=∠BPC,求出∠ABP′+∠ABP=60°,得到等邊△BPP′,推出PP′=,∠BP′P=60°,求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC;過點(diǎn)B作BM⊥AP′,交AP′的延長線于點(diǎn)M,由∠MP′B=30°,求出BM=,P′M=,根據(jù)勾股定理即可求出答案;
(2)求出∠BEP=(180°-90°)=45°,根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°,推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°;過點(diǎn)B作BF⊥AE,交AE的延長線于點(diǎn)F,求出FE=BF=1,AF=2,關(guān)鍵勾股定理即可求出AB.
(1)∵等邊△ABC,
∴∠ABC=60°,
將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得出△ABP′,
∴AP′=CP=1,BP′=BP=,∠PBC=∠P′BA,∠AP′B=∠BPC,
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°,
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°,
∴△BPP′是等邊三角形,
∴PP′=,∠BP′P=60°,
∵AP′=1,AP=2,
∴AP′2+PP′2=AP2,
∴∠AP′P=90°,
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°,
過點(diǎn)B作BM⊥AP′,交AP′的延長線于點(diǎn)M,
∴∠MP′B=30°,BM=,
由勾股定理得:P′M=,
∴AM=1+=,
由勾股定理得:AB=,
故答案為:150°,.
(2)將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AEB,
與(1)類似:可得:AE=PC=1,BE=BP=,∠BPC=∠AEB,∠ABE=∠PBC,
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°,
∴∠BEP=(180°-90°)=45°,
由勾股定理得:EP=2,
∵AE=1,AP=,EP=2,
∴AE2+PE2=AP2,
∴∠AEP=90°,
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°,
過點(diǎn)B作BF⊥AE,交AE的延長線于點(diǎn)F;
∴∠FEB=45°,
∴FE=BF=1,
∴AF=2;
∴在Rt△ABF中,由勾股定理,得AB=;
∴∠BPC=135°,正方形邊長為.
答:∠BPC的度數(shù)是135°,正方形ABCD的邊長是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)校計(jì)劃購買某種樹苗綠化校園,甲、乙兩林場這種樹苗的售價(jià)都是每棵20元,又各有不同的優(yōu)惠方案,甲林場:若一次購買20棵以上,售價(jià)是每棵18元;乙林場:若一次購買10棵以上,超過10棵部分打8.5折。設(shè)學(xué)校一次購買這種樹苗x棵(x是正整數(shù)).
(Ⅰ)根據(jù)題意填寫下表:
學(xué)校一次購買樹苗(棵) | 10 | 15 | 20 | 40 |
在甲林場實(shí)際花費(fèi)(元) | 200 | 300 | ||
在乙林場實(shí)際花費(fèi)(元) | 200 | 370 | 710 |
(Ⅱ)學(xué)校在甲林場一次購買樹苗,實(shí)際花費(fèi)記為(元),在乙林場一次購買樹苗,實(shí)際花費(fèi)記為(元),請分別寫出與x的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅲ)當(dāng)時(shí),學(xué)校在哪個(gè)林場一次購買樹苗,實(shí)際花費(fèi)較少?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明家今年種植的草莓喜獲豐收,采摘上市20天全部銷售完,爸爸讓他對今年的銷售情況進(jìn)行跟蹤記錄,小明利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識將記錄情況繪成圖象(所得圖象均為線段),日銷售量y(單位:千克)與上市時(shí)間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系如圖1所示,草莓的價(jià)格w(單位:元/千克)與上市時(shí)間x(單位:天)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.
(1)觀察圖象,直接寫出當(dāng)0≤x≤11時(shí),日銷售量y與上市時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為 ;
當(dāng)11≤x≤20時(shí),日銷售量y與上市時(shí)間x之間的函數(shù)解析式為 .
(2)試求出第11天的銷售金額;
(3)若上市第15天時(shí),爸爸把當(dāng)天能銷售的草莓批發(fā)給了鄰居馬叔叔,批發(fā)價(jià)為每千克15元,馬叔叔到市場按照當(dāng)日的價(jià)格w元/千克將批發(fā)來的草莓全部銷售完,他在銷售的過程中,草莓總質(zhì)量損耗了2%.那么,馬叔叔支付完來回車費(fèi)20元后,當(dāng)天能賺到多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】4月18日,一年一度的“風(fēng)箏節(jié)”活動在市政廣場舉行,如圖,廣場上有一風(fēng)箏A,小江抓著風(fēng)箏線的一端站在D處,他從牽引端E測得風(fēng)箏A的仰角為67°,同一時(shí)刻小蕓在附近一座距地面30米高(BC=30米)的居民樓頂B處測得風(fēng)箏A的仰角是45°,已知小江與居民樓的距離CD=40米,牽引端距地面高度DE=1.5米,根據(jù)以上條件計(jì)算風(fēng)箏距地面的高度(結(jié)果精確到0.1米,參考數(shù)據(jù):sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,≈1.414).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四邊形ABCD是正方形,E,F分別是DC和CB的延長線上的點(diǎn),且BF=DE,連接AE,AF,EF.
(1)判斷△ABF與△ADE有怎樣的關(guān)系,并說明理由;
(2)求∠EAF的度數(shù),寫出△ABF可以由△ADE經(jīng)過怎樣的圖形變換得到;
(3)若BC=6,DE=2,求△AEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】均衡化驗(yàn)收以來,樂陵每個(gè)學(xué)校都高樓林立,校園環(huán)境美如畫,軟件、硬件等設(shè)施齊全,小明想要測量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高度,他從食堂樓底M處出發(fā),向前走6 米到達(dá)A處,測得樹頂端E的仰角為30°,他又繼續(xù)走下臺階到達(dá)C處,測得樹的頂端的仰角是60°,再繼續(xù)向前走到大樹底D處,測得食堂樓頂N的仰角為45°,已如A點(diǎn)離地面的高度AB=4米,∠BCA=30°,且B、C、D 三點(diǎn)在同一直線上.
(1)求樹DE的高度;
(2)求食堂MN的高度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某服裝店老板到廠家選購、兩種品牌的羽絨服,品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)比品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)多元,若用元購進(jìn)種羽絨服的數(shù)量是用元購進(jìn)種羽絨服數(shù)量的倍.
(1)求、兩種品牌羽絨服每件進(jìn)價(jià)分別為多少元?
(2)若品牌羽絨服每件售價(jià)為元,品牌羽絨服每件售價(jià)為元,服裝店老板決定一次性購進(jìn)、兩種品牌羽絨服共件,在這批羽絨服全部出售后所獲利潤不低于元,則最少購進(jìn)品牌羽絨服多少件?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在函數(shù)學(xué)習(xí)中,我們經(jīng)歷了“確定函數(shù)表達(dá)式﹣﹣利用函數(shù)圖象研究其性質(zhì)﹣﹣運(yùn)用函數(shù)解決問題”的學(xué)習(xí)過程.在畫函數(shù)圖象時(shí),我們通過描點(diǎn)或平移的方法畫出了所學(xué)的函數(shù)圖象.同時(shí)我們也學(xué)習(xí)了絕對值的意義,結(jié)合上面經(jīng)歷的學(xué)習(xí)過程,現(xiàn)在來解決下面的問題:在函數(shù)y=|kx﹣1|+b中,當(dāng)x=2時(shí),y=﹣3;x=0時(shí),y=﹣2.
(1)求這個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(2)用列表描點(diǎn)的方法畫出該函數(shù)的圖象;請你先把下面的表格補(bǔ)充完整,然后在下圖所給的坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象;
x | … | ﹣6 | ﹣4 | ﹣2 | 0 | 2 | 4 | 6 | … |
y | … |
| 0 | ﹣1 | ﹣2 | ﹣3 | ﹣2 |
| … |
(3)觀察這個(gè)函數(shù)圖象,并寫出該函數(shù)的一條性質(zhì);
(4)已知函數(shù)y= (x>0)的圖象如圖所示,與y=|kx﹣1|+b的圖象兩交點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2+4,-2),(2﹣2,﹣﹣1),結(jié)合你畫的函數(shù)圖象,直接寫出|kx﹣1|+b≤的解集.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和B,與y軸的正半軸交于點(diǎn)C,下列結(jié)論:①abc>0;②4a﹣2b+c>0;③2a﹣b>0,其中正確的個(gè)數(shù)為( 。
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)
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