Question

【題目】如圖1，△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13

(1) sinB＝_________，△ABC的面積為_________

(2) 如圖2，點P由B點出發(fā)，以1個單位/s的速度向C點運動，過P作PE∥AB、PD∥AC分別交AC、AB邊于E、D點，設運動時間為t秒

① 是否存在唯一的t值，使四邊形PEAD的面積為S？若存在，求S值；若不存在，說明理由

② 如圖3，將△PDE沿DE折疊至△QDE位置，連BQ、CQ，當t為何值時，2BQ＝CQ

Answer 1

【答案】 84

【解析】試題分析：（1）作AD⊥BC于D，設BD=x，則CD=BC﹣BD=15﹣x，由勾股定理得出方程，解方程求出BD，再由勾股定理求出AD，即可得出sinB的值和△ABC的面積；

（2）過點C作CM⊥AB于M，PN⊥AB于N，則PN∥CM，由平行線證出△BPN∽△BCM，得出=，求出CM=12，PN=，同理：，證明四邊形PEAD是平行四邊形，由平行四邊形的面積公式得出S四邊形PEAD=PEPN=，即可得出結(jié)論；

（3）連接CQ，證出四邊形PEAD是平行四邊形，得出AE=PD，PE=AD，∠A=∠DPE，由翻折性質(zhì)得出PE=QE=AD，QD=PD=AE，由SSS證明△ADE≌△QED，得出∠AED=∠QDE，因此∠QDA=∠AEQ，由鄰補角得出∠QDB=∠QEC，證明△CEQ∽△QDB，得出，因此EC=2QD=2DP=2AE，由平行線得出比例式，得出BP=5，求出t=5即可．

試題解析：

（1）作AD⊥BC于D，如圖1所示：

設BD=x，則CD=BC﹣BD=15﹣x，

在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2，AD2=AC2﹣CD2，

∴AB2﹣BD2=AC2﹣CD2，

即142﹣x2=132﹣（15﹣x）2，

解得：x=8.4，

∴BD=8.4，

∴AD===11.2，

∴sinB===，△ABC的面積=BCAD=×15×11.2=84；

故答案為：，84；

（2）存在，理由如下：過點C作CM⊥AB于M，PN⊥AB于N，如圖2所示：

則PN∥CM，

∴△BPN∽△BCM，

∴=，即，

∴CM=12，PN=，

同理：，

∵PE∥AB、PD∥AC，

∴四邊形PEAD是平行四邊形，

∴S四邊形PEAD=PEPN=，

∴當t=時，S有最大值為42；

（3）連接CQ，如圖3所示：

∵PE∥AB、PD∥AC，

∴四邊形PEAD是平行四邊形，

∴AE=PD，PE=AD，∠A=∠DPE，

由翻折可知：PE=QE=AD，QD=PD=AE，

在△ADE和△QED中，

∴△ADE≌△QED（SSS），

∴∠AED=∠QDE，

∴∠QDA=∠AEQ，

∴∠QDB=∠QEC，

∵PE∥AB、PD∥AC，

∴△BDP∽△BAC，△BAC∽△PEC，

△BDP∽△PEC，

∴，

又∠QDB=∠QEC，

∴△CEQ∽△QDB，

∴，

∴EC=2QD=2DP=2AE，

∵PE∥AB，

∴，

∴CP=10，BP=5，

∴t=5；

即當t=5時，2BQ=CQ．