Question

15．如圖①，在△ABC中，AB=AC，BC=2a（單位：cm），sinB=$\frac{3}{5}$．動點P以1cm/s的速度從點B出發(fā)，沿折線B-A-C運動到點C時停止運動．設(shè)點P出發(fā)x（s）時，△PBC的面積為y（cm²）．已知y與x的函數(shù)圖象如圖②所示，請根據(jù)圖中信息，解答下列問題：
（1）若a=4時，求圖①中AB的長度；
（2）直接寫出圖②中D點的坐標（$\frac{5}{4}a$，$\frac{3}{4}$a²）；（用含a的代數(shù)式表示）
（3）當a為何值時，△ABC∽△DOE．

Answer 1

分析 （1）過點A作AM⊥BC于M，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BM=$\frac{1}{2}$BC=4，設(shè)AM=3x，AB=5x，根據(jù)勾股定理得到BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=4x，即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BM=$\frac{1}{2}$BC=a，設(shè)AB=5x，AM=3x，得到BM=4x，求得AM=$\frac{3}{4}$a，AB=$\frac{5}{4}$a，根據(jù)三角形的面積公式于是得到結(jié)論；
（3）作DF⊥OE于F，根據(jù)題意得到DO=DE推出當且僅當∠DOE=∠ABC時，△DOE∽△ABC，根據(jù)三角函數(shù)的定義得到tan∠DOF=$\frac{3}{5}$a，tan∠B=$\frac{3}{4}$，得到方程，于是得到結(jié)果．

解答 解：（1）過點A作AM⊥BC于M，
∵AB=AC，BC=2acm=8cm，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=4，
∵sinB=$\frac{3}{5}$，
∴設(shè)AM=3x，AB=5x，
∴BM=$\sqrt{A{B}^{2}-A{M}^{2}}$=4x，
∴x=1，
∴AB=5，

（2）由題意得：∵AB=AC，BC=2acm，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=a，
∵sinB=$\frac{3}{5}$，
設(shè)AB=5x，AM=3x，
∴BM=4x，
∴x=$\frac{a}{4}$，
∴AM=$\frac{3}{4}$a，AB=$\frac{5}{4}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AM=$\frac{1}{2}$×2a×$\frac{3}{4}$a=$\frac{3}{4}$a²，
∴D（ $\frac{5}{4}a$，$\frac{3}{4}$a²）；
故答案為：$\frac{5}{4}a$，$\frac{3}{4}$a²，

（3）作DF⊥OE于F，
∵AB=AC，點P以1cm/s的速度運動，
∴點P在邊AB和AC上的運動時間相同，
∴點F是OE的中點，
∴DF是OE的垂直平分線，
∴DO=DE，∵AB=AC，
∴當且僅當∠DOE=∠ABC時，△DOE∽△ABC，
在Rt△DOF中，tan∠DOF=$\frac{DF}{OF}$=$\frac{\frac{3}{4}{a}^{2}}{\frac{5}{4}a}$=$\frac{3}{5}$a，
∵tan∠B=$\frac{AM}{BM}$=$\frac{\frac{3}{4}a}{a}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3}{5}$a=$\frac{3}{4}$，
∴a=$\frac{5}{4}$，
當a=$\frac{5}{4}$時，△DOE∽△ABC．

點評 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)等知識．此題綜合性較強，解題的關(guān)鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．