【題目】如圖,正方形ABCO的邊OA、OC在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,3).將正方形ABCO繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度αα90°),得到正方形ADEF,ED交線段OC于點(diǎn)G,ED的延長線交線段BC于點(diǎn)P,連AP、AG

1)求證:△AOG≌△ADG

2)求∠PAG的度數(shù);并判斷線段OGPG、BP之間的數(shù)量關(guān)系,說明理由;

3)當(dāng)∠1=∠2時(shí),求直線PE的解析式;

4)在(3)的條件下,直線PE上是否存在點(diǎn)M,使以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出M點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)證明過程見解析;(2)PG=OG+BP;理由見解析;(3)y=x﹣3;(4)0,﹣3)或(23).

【解析】試題分析:(1)AO=ADAG=AG,根據(jù)斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等,判斷出△AOG≌△ADG即可.(2)首先根據(jù)三角形全等的判定方法,判斷出△ADP≌△ABP,再結(jié)合△AOG≌△ADG,可得∠DAP=∠BAP,∠1=∠DAG;然后根據(jù)∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,求出∠PAG的度數(shù);最后判斷出線段OG、PG、BP之間的數(shù)量關(guān)系即可.(3)首先根據(jù)△AOG≌△ADG,判斷出∠AGO=∠AGD;然后根據(jù)∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,判斷出當(dāng)∠1=∠2時(shí),∠AGO=∠AGD=∠PGC,而∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°,求出∠1=∠2=30°;最后確定出PG兩點(diǎn)坐標(biāo),即可判斷出直線PE的解析式.

(4)根據(jù)題意,分兩種情況:當(dāng)點(diǎn)Mx軸的負(fù)半軸上時(shí);當(dāng)點(diǎn)MEP的延長線上時(shí);根據(jù)以M、A、G為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形,求出M點(diǎn)坐標(biāo)是多少即可.

試題解析:(1)Rt△AOGRt△ADG中,HL∴△AOG≌△ADG

(2)Rt△ADPRt△ABP中,∴△ADP≌△ABP, 則∠DAP=∠BAP

∵△AOG≌△ADG, ∴∠1=∠DAG; 又∵∠1+∠DAG+∠DAP+∠BAP=90°,

∴2∠DAG+2∠DAP=90°, ∴∠DAG+∠DAP=45°, ∵∠PAG=∠DAG+∠DAP∴∠PAG=45°;

∵△AOG≌△ADG∴DG=OG, ∵△ADP≌△ABP, ∴DP=BP∴PG=DG+DP=OG+BP

(3)解:∵△AOG≌△ADG, ∴∠AGO=∠AGD, 又∵∠1+∠AGO=90°,∠2+∠PGC=90°,∠1=∠2

∴∠AGO=∠PGC, 又∵∠AGO=∠AGD∴∠AGO=∠AGD=∠PGC,

∵∠AGO+∠AGD+∠PGC=180°∴∠AGO=∠AGD=∠PGC=180°÷3=60°,

∴∠1=∠2=90°﹣60°=30°; 在Rt△AOG中, ∵AO=3∴OG=AOtan30°=3×=,

∴G點(diǎn)坐標(biāo)為(,0),CG=3﹣, 在Rt△PCG中,PC===3﹣1),

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:(3,3﹣3 ), 設(shè)直線PE的解析式為:y=kx+b, 則

解得:, 直線PE的解析式為y=x﹣3

(4)①如圖/span>1,當(dāng)點(diǎn)Mx軸的負(fù)半軸上時(shí),, ∵AG=MG,點(diǎn)A坐標(biāo)為(0,3),

點(diǎn)M坐標(biāo)為(0﹣3).

如圖2,當(dāng)點(diǎn)MEP的延長線上時(shí),, 由(3),可得∠AGO=∠PGC=60°,

∴EPAB的交點(diǎn)M,滿足AG=MG, ∵A點(diǎn)的橫坐標(biāo)是0,G點(diǎn)橫坐標(biāo)為,

∴M的橫坐標(biāo)是2,縱坐標(biāo)是3, 點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,3).

綜上,可得 點(diǎn)M坐標(biāo)為(0,﹣3)或(23).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l過點(diǎn)M(3,0),且平行于y軸.

(1)如果△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(﹣2,0),B(﹣1,0),C(﹣1,2),△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形是△A1B1C1,△A1B1C1關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形是△A2B2C2,寫出△A2B2C2的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)如果點(diǎn)P的坐標(biāo)是(﹣a,0),其中0<a<3,點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是P1,點(diǎn)P1關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)是P2,求PP2的長.

備用圖

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】我市5月的某一周每天的最高氣溫(單位:℃)統(tǒng)計(jì)如下:19,20,24,22,24,26,27,則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與眾數(shù)分別是(
A.23,24
B.24,22
C.24,24
D.22,24

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】遼寧號(hào)航空母艦是中國人民解放軍海軍第一艘服役的航空母艦.滿載時(shí)排水量為67500噸,將數(shù)據(jù)67500用科學(xué)記數(shù)法表示為(  )

A.6.75×103B.6.75×104C.0.675×105D.675×102

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+m0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)m的取值范是______

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】小莉的爸爸買了某演唱會(huì)的一張門票,她和哥哥兩人都很想去觀看,可門票只有一張,讀九年級(jí)的哥哥想了一個(gè)辦法,拿了八張撲克牌,將數(shù)字為1,2,35的四張牌給小莉,將數(shù)字為4,6,7,8的四張牌留給自己,并按如下游戲規(guī)則進(jìn)行:小莉和哥哥從各自的四張牌中隨機(jī)抽出一張,然后將抽出的兩張牌數(shù)字相加,如果和為偶數(shù),則小莉去;如果和為奇數(shù),則哥哥去.

1)請(qǐng)用樹狀圖或列表的方法表示出兩張牌數(shù)字相加和的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果;

2)哥哥設(shè)計(jì)的游戲規(guī)則公平嗎?為什么?若不公平,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種公平的游戲規(guī)則.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如果將拋物線yx2+2向左平移1個(gè)單位,那么所得新拋物線的解析式為(  )

A.y=(x12+2B.y=(x+12+2C.yx2+1D.yx2+3

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,ABO中,ABOB,OB=,AB=1,把ABO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)150°后得到A1B1O,則點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(

A.(1,-

B.(1,-)或(2,0)

C.(-,1)或(0,2)

D.(-1)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖①所示是一個(gè)長為2m,寬為2n的長方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長方形,圖②是邊長為mn的正方形.

1請(qǐng)用圖①中四個(gè)小長方形和圖②中的正方形拼成一個(gè)大正方形,畫出示意圖(要求連接處既沒有重疊,也沒有空隙);

2請(qǐng)用兩種不同的方法列代數(shù)式表示(1)中拼得的大正方形的面積;

3請(qǐng)直接寫出(mn)2(mn)2,mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系;

4根據(jù)4中的等量關(guān)系,解決如下問題:若ab6,ab4,求(ab)2的值.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案