Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xoy中，直線y=x+3交x軸于A點，交y軸于B點，過A、B兩點的拋物線y=﹣x2+bx+c交x軸于另一點C，點D是拋物線的頂點．

（1）求此拋物線的解析式；
（2）點P是直線AB上方的拋物線上一點，（不與點A、B重合），過點P作x軸的垂線交x軸于點H，交直線AB于點F，作PG⊥AB于點G．求出△PFG的周長最大值；
（3）在拋物線y=﹣x2+bx+c上是否存在除點D以外的點M，使得△ABM與△ABD的面積相等？若存在，請求出此時點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵直線AB：y=x+3與坐標軸交于A（﹣3，0）、B（0，3），

代入拋物線解析式y(tǒng)=﹣x2+bx+c中 ，

∴

∴拋物線解析式為：y=﹣x2﹣2x+3

（2）

解：∵由題意可知△PFG是等腰直角三角形，

設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3），

∴F（m，m+3），

∴PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，

△PFG周長為：﹣m2﹣3m+ （﹣m2﹣3m），

=﹣（ +1）（m+ ）2+ ，

∴△PFG周長的最大值為：

（3）

解：點M有三個位置，如圖所示的M1、M2、M3，都能使△ABM的面積等于△ABD的面積．

此時DM1∥AB，M3M2∥AB，且與AB距離相等，

∵D（﹣1，4），

∴E（﹣1，2）、則N（﹣1，0）

∵y=x+3中，k=1，

∴直線DM1解析式為：y=x+5，

直線M3M2解析式為：y=x+1，

∴x+5=﹣x2﹣2x+3或x+1=﹣x2﹣2x+3，

∴x1=﹣1，x2=﹣2，x3= ，x4= ，

∴M1（﹣2，3），M2（ ， ），M3（ ， ）．

【解析】（1）將已知點的坐標代入二次函數(shù)的解析式利用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)的解析式即可；（2）首先根據(jù)△PFG是等腰直角三角形，設(shè)P（m，﹣m2﹣2m+3）得到F（m，m+3），進而得到PF=﹣m2﹣2m+3﹣m﹣3=﹣m2﹣3m，從而得到△PFG周長為：﹣m2﹣3m+ （﹣m2﹣3m），配方后即可確定其最大值；（3）當DM1∥AB，M3M2∥AB，且與AB距離相等時，根據(jù)同底等高可以確定△ABM與△ABD的面積相等，分別求得直線DM1解析式為：y=x+5和直線M3M2解析式為：y=x+1，聯(lián)立之后求得交點坐標即可．
【考點精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減�。粚ΨQ軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能得出正確答案．