Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．點E在下底邊BC上，點F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周長，設(shè)BE長為，試用含的代數(shù)式表示△BEF的面積；
（2）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此BE的長；若不存在，請說明理由；
（3）是否存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1︰2的兩部分？若存在，求此時BE的長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）BE=7；（3）不存在

試題分析：（1）根據(jù)過點F作FG⊥BC于G，過點A作AK⊥BC于K，得出BF與FG的長即可求出；
（2）利用（1）中所求，解一元二次方程即可求出．
（3）仍然按照（1）和（2）的步驟和方法去做就可以了，注意不是分成相等的兩份，而是1：2就可以了，得到關(guān)于x的一元二次方程，先求出根的判別式△，由于△＜0，故不存在實數(shù)根．
（1）過點F作FG⊥BC于G，過點A作AK⊥BC于K，

   
△BEF的面積為；
（2）根據(jù)題意，得     
解得 ，．             
當(dāng)時，舍去；
當(dāng)時，符合題意
所以存在符合要求的線段EF，此時BE=7；
（3）假設(shè)存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1：2的兩部分．
∵等腰梯形ABCD的周長=24，等腰梯形ABCD的面積=28，AD+DC=9>8 
∴只有BE+BF=8，△BEF的面積=  
設(shè)BE長為，則，△BEF的面積 
∵方程無解，
∴不存在線段EF將等腰梯形ABCD的周長和面積同時分成1︰2的兩部分.
點評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握當(dāng)時，方程有兩個不相等實數(shù)根；當(dāng)時，方程的兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根。