Question

18．如圖，直線y=kx+b與x軸交于點(diǎn)B（-3，0），且它與雙曲線y=$\frac{12}{x}$交于點(diǎn)A、C，其中點(diǎn)A（n，4）在第一象限，點(diǎn)C在第三象限．
（1）求直線y=kx+b的解析式；
（2）在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)點(diǎn)A在雙曲線圖象上，可求出n值，將A、B點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線y=kx+b中，由待定系數(shù)法即可求出結(jié)論；
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），分三種情況考慮△AOP是等腰三角形，由邊相等得出關(guān)于m的方程，解方程即可得出結(jié)論．

解答 解：∵點(diǎn)A（n，4）在雙曲線y=$\frac{12}{x}$的圖象上，
∴有4=$\frac{12}{n}$，解得：n=3．
即點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，4）．
將點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線y=kx+b中得：
$\left\{\begin{array}{l}{0=-3k+b}\\{4=3k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{2}{3}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
∴直線的解析式為y=$\frac{2}{3}$x+2．
（2）假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0）．
點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)A（3，4），
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
OA=$\sqrt{（3-0）^{2}+（4-0）^{2}}$=5，OP=|m|，AP=$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-0）^{2}}$．
△AOP是等腰三角形分三種情況：
①OA=OP，則有5=|m|，解得：m=±5，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）或（5，0）；
②OA=AP，即5=$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-0）^{2}}$，
解得：m=0（舍去），或m=6，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（6，0）；
③OP=AP，即|m|=$\sqrt{（3-m）^{2}+（4-0）^{2}}$，
解得：m=$\frac{25}{6}$，
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{25}{6}$，0）．
綜上可知：在x軸上存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-5，0）、（5，0）、（6，0）或（$\frac{25}{6}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)以及解無(wú)理方程，解題的關(guān)鍵：（1）由點(diǎn)在雙曲線上求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）分3種情況考慮邊相等的情況．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)由邊相等得出關(guān)于n的方程是關(guān)鍵．