Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC如圖所示，點(diǎn)A在x軸負(fù)半軸上，BC∥AO（點(diǎn)B位于點(diǎn)C左側(cè)），邊BA、CO的延長線交于第三象限的點(diǎn)D，且DB=DC，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是﹣4，AD：BD＝1:3．

（1）求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）連接OB，若△OBC是等腰三角形，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）；（2）C（2，2）或C（2，4）．

【解析】

（1）過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，根據(jù)已知條件證明DF垂直平分AO，得到2AF+AE=4①，再根據(jù)DF∥BE，得到△ADF∽△ABE，得到，即AE=2AF②，再由①②得到AE=2，AF=1，故可得到A點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)題意得到B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱，由B點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣4，得到C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，故BC=2﹣（﹣4）=6，再分兩種情況討論：當(dāng)BO=BC時(shí)與OC=BC時(shí)，利用勾股定理進(jìn)行求解.

（1）如圖，過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵BC∥AO，

∴∠DBC=∠DAO，∠DCB=∠DOA

∵DB=DC

∴∠DAO =∠DOA

∴DA=DO 又∵DF⊥x軸

∴OF=AF，則2AF+AE=4①．

∵DF∥BE，

∴△ADF∽△ABE，

∴，即AE=2AF②，

①與②聯(lián)立，解得AE=2，AF=1，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣2，0）；

（2）由題意得∠OAB＞90°，OB＞AB=OC，

∵DA=DO，DB=DC

∴B、C兩點(diǎn)關(guān)于直線x=﹣1對(duì)稱，B點(diǎn)橫坐標(biāo)為﹣4，

∴C點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，

∴BC=2﹣（﹣4）=6．

∴當(dāng)△OBC是等腰三角形時(shí)，分兩種情況討論：

①當(dāng)BO=BC時(shí)，設(shè)B（﹣4，y1），

則16+=36，解得y1=±2（負(fù)值舍去）．

∴C（2，2）；

②當(dāng)OC=BC時(shí)，設(shè)C（2，y2），

則4+=36，解得y2=±4（負(fù)值舍去）．

∴C（2，4）．

∴C（2，2）或C（2，4）．