Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有“拋物線系”y＝－（x－m）2+4m－3，頂點(diǎn)為點(diǎn)P，這些拋物線的形狀與拋物線 y＝－x2 相同，但頂點(diǎn)位置不同．

（1）填寫下表，并說出：在m取不同數(shù)值時(shí)，點(diǎn)P位置的變化具有什么特征？

m的值	…	－1	0	1	2	…
點(diǎn)P坐標(biāo)	…					…

（2）若拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1，則可確定m的值．點(diǎn)M（p，q）為此拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且﹣1＜p＜2，而直線y＝kx－4（k≠0）始終經(jīng)過點(diǎn)M．

①求此拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)；

②求k的取值范圍．

（3）若點(diǎn)Q在x軸上，點(diǎn)S（0，－1）在y軸上，點(diǎn)R在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以點(diǎn)P，Q，R，S為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，試直接寫出所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)P的位置始終在同一條直線上；（2）k＜－1或k＞2；（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)有：（3，0），（－2，0），（，0），（－6，0），（，0），（－，0）.

【解析】

（1）由拋物線系y＝－（x－m）2+4m－3，可得頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，4m-3），把m=-1、0、1、2一次代入4m-3，即可求出相應(yīng)的縱坐標(biāo)，結(jié)果填表內(nèi)，通過描點(diǎn)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置始終在同一條直線上；（2）①根據(jù)對(duì)稱軸是直線x＝1，而拋物線頂點(diǎn)式y＝－（x－m）2+4m－3中對(duì)稱軸是直線x=m，所以m=1，從而求得拋物線的解析式；把y=0代入解析式即可求出與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)；②因?yàn)椹?/span>1＜p＜2，所以把x=-1、2分別代入拋物線的解析式，解得y=-3、0，可得點(diǎn)M在拋物線上點(diǎn)（－1，－3 ），（2，0）之間運(yùn)動(dòng)，不包含此兩點(diǎn)，再把此兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入直線y＝kx－4（k≠0）可得兩個(gè)k的值，從而求得k的取值范圍； （3）根據(jù)正方形的性質(zhì)進(jìn)行分類討論可得結(jié)果.

解：（1）

m的值	…	－1	0	1	2	…
點(diǎn)P坐標(biāo)	…	（－1，－7）	（0，－3）	（1，1）	（2，5）	…

可通過描點(diǎn)得出：點(diǎn)P的位置始終在同一條直線上；

（2）①∵拋物線的對(duì)稱軸為x=1，∴m=1，

∴拋物線的表達(dá)式為：y=﹣x2+2x；

當(dāng)y＝0時(shí)，﹣x2+2x＝0，∴x1＝0，x2＝2，

∴拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是：（0，0），（2，0）；

② 當(dāng)﹣1＜p＜2時(shí)，結(jié)合圖象，可知點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)中的邊界點(diǎn)為：（－1，－3 ），（2，0）；

當(dāng)過（－1，﹣3）時(shí)，代入 y=kx﹣4，k=－1；

當(dāng)過（2，0）時(shí)，代入 y=kx﹣4，k=2；

綜上所述：k＜－1或k＞2；

（3）點(diǎn)Q的坐標(biāo)有：（3，0），（－2，0），（，0），（－6，0），（，0），（－，0）.

理由：

∵S（0，-1），P(m，4m-3)

∴①當(dāng)SP為正方形的邊長(zhǎng)時(shí)，以SP為邊向兩邊作正方形，如圖，易證圖中陰影三角形全等，解得P1（5m-2，3m-3）,由中點(diǎn)公式得P2（2-3m,5m-3）,由全等求得P4（4m-2,-m-1）,P3(2-4m，-1+m).

當(dāng)P1、P2、P3、P4中有一點(diǎn)落在x軸上時(shí)即可滿足條件，

當(dāng)P1落在x軸上時(shí)，3m-3=0，m=1, 此時(shí)Q（3,0）

當(dāng)P2落在x軸上時(shí)，5m-3=0，m= ，此時(shí)Q（,0）

當(dāng)P3落在x軸上時(shí)，-1+ m=0，m=1，此時(shí)Q（-2,0）

當(dāng)P4落在x軸上時(shí)，-m-1=0，m=-1，此時(shí)Q（-6,0）

②當(dāng)SP為對(duì)角線時(shí)，另外兩點(diǎn)的坐標(biāo)即為圖中兩正方形的中心坐標(biāo)，分別為（m-1, m-2）,(1-m，m-2).

當(dāng)m-2=0時(shí)，m=,此時(shí)Q（，0）

當(dāng)m-2時(shí)，m=，此時(shí)Q（-，0）

綜上所述，Q點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，0），（－2，0），（，0），（－6，0），（，0），（－，0）.