Question

【題目】如圖1，拋物線L：y=ax2+2（a﹣1）x﹣4（常數(shù)a＞0）經(jīng)過點A（﹣2，0）和點B（0，﹣4），與x軸的正半軸交于點E，過點B作BC⊥y軸，交L于點C，以O(shè)B，BC為邊作矩形OBCD．

（1）當x=2時，L取得最低點，求L的解析式．
（2）用含a的代數(shù)式分別表示點C和點E的坐標；
（3）當S矩形OBCD=4時，求a的值．
（4）如圖2，作射線AB，OC，當AB∥OC時，將矩形OBCD從點O沿射線OC方向平移，平移后對應(yīng)的矩形記作O′B′C′D′，直接寫出點A到直線BD′的最大距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：拋物線L的對稱軸是x=﹣ ，∴x= ﹣1，

∵當x=2時，L取得最低點，則 ﹣1=2，

∴a= ，

∴L的解析式為：y= x2﹣ x﹣4

（2）

解：∵在L上，且BC⊥y軸，B（0，﹣4），

∴設(shè)點C坐標為C（m，﹣4）（其中m≠0），代入L，

﹣4=am2+2（a﹣1）m﹣4，解得，m= ﹣2，

∴點C的坐標是（ ﹣2，﹣4），

∵點A與點E關(guān)于L的對稱軸x= ﹣1對稱，A（﹣2，0），

設(shè)點E的坐標是（n，0）（其中n＞0），

∴ ﹣1﹣（﹣2）=n﹣（ ﹣1），解得 n= ，

∴點E的坐標是（ ，0）

（3）

解：∵S矩形OBCD=4| ﹣2|=4，

∴| ﹣2|=1，

當矩形OBCD在y軸右側(cè)時，0＜a＜1，有 ﹣2=1，解得a= ；

當矩形OBCD在y軸左側(cè)時，a＞1，有 ﹣2=﹣1，解得a=2

（4）

解：由圖象可知，當AB⊥BD′時，點A到直線BD′的距離最大，最大距離為AB= = =2 ．

【解析】（1）利用頂點坐標公式，列出方程即可解決問題．（2）由BC⊥y軸，B（0，﹣4），設(shè)點C坐標為C（m，﹣4）（其中m≠0），代入L，得﹣4=am2+2（a﹣1）m﹣4，解得，m= ﹣2，可得點C坐標，因為點A與點E關(guān)于L的對稱軸x= ﹣1對稱，A（﹣2，0），設(shè)點E的坐標是（n，0）（其中n＞0），可得 ﹣1﹣（﹣2）=n﹣（ ﹣1），解得 n= ，由此即可求出點E坐標．（3）由題意S矩形OBCD=4| ﹣2|=4，可得| ﹣2|=1，分兩種情形①當矩形OBCD在y軸右側(cè)時．②當矩形OBCD在y軸左側(cè)時．分別求解即可．（4）由圖象可知，當AB⊥BD′時，點A到直線BD′的距離最大．