【題目】如圖,拋物線L1:(常數(shù)t>0)與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)G,頂點(diǎn)為Q,過(guò)Q作QM⊥軸交軸于點(diǎn)M,交雙曲線L2:于點(diǎn)P,且OG·MP=4.
(1)求值;
(2)當(dāng)t=2時(shí),求PQ的長(zhǎng);
(3)當(dāng)P是QM的中點(diǎn)時(shí),求t的值;
(4)拋物線L1與拋物線L2所圍成的區(qū)域(不含標(biāo)界)內(nèi)整點(diǎn)(點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù))的個(gè)數(shù)有且只有1個(gè),直接寫(xiě)出t的取值范圍.
【答案】(1)k=-2;(2)PQ=;(3)t=4;(4).
【解析】
(1)由題意得G點(diǎn)和M點(diǎn)的坐標(biāo),可得OG=t,根據(jù)OG·MP=4,可得MP,可得出P的坐標(biāo),把P代入,即可得出答案;
(2)先根據(jù)題意得出Q的坐標(biāo)為(-1,),P的橫坐標(biāo)為-1,把x=-1代入求出y,即可求出答案;
(3)根據(jù)題意表示出Q的坐標(biāo)和P的坐標(biāo),把P代入即可得出答案;
(4)根據(jù)題意得由L1與L2圍成的區(qū)域只有一個(gè)整點(diǎn),分①當(dāng)x=-2時(shí),滿(mǎn)足1<y≤2和當(dāng)x=-3時(shí),滿(mǎn)足1<y≤2;②當(dāng)x=-2時(shí),滿(mǎn)足2<y≤3和當(dāng)x=-3時(shí),滿(mǎn)足0≤y≤1,兩種情況討論即可.
(1)由題意得G的坐標(biāo)為(-t,0),
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為(,0),
∴OG=t,
∵OG·MP=4,
∴MP=,
∴P的坐標(biāo)為(,),
把P(,)代入,得,
解得k=-2;
(2)由(1)得雙曲線L2:,
當(dāng)t=2時(shí),拋物線L1:,
∴Q的坐標(biāo)為(-1,),P的橫坐標(biāo)為-1,
當(dāng)x=-1時(shí),在中,y==2,
∴PQ=2-=;
(3)拋物線L1:,
∴Q的坐標(biāo)為(,),
∵P是QM的中點(diǎn),
∴P的坐標(biāo)為(,),
把P(,)代入得:,
解得:t=4;
(4)由L1與L2圍成的區(qū)域只有一個(gè)整點(diǎn),
①如圖,L1具有對(duì)稱(chēng)性,
∴當(dāng)x=-2時(shí),滿(mǎn)足1<y≤2,
∴1<t-2≤2,
解得3<t≤4,
當(dāng)x=-3時(shí),滿(mǎn)足1<y≤2,
∴1<(t-3)≤2,
<t-3≤,
,
∴t的取值范圍是;
②如圖:
當(dāng)x=-2時(shí),滿(mǎn)足2<y≤3,
∴2<t-2≤3,
解得4<t≤5,
當(dāng)x=-3時(shí),滿(mǎn)足0≤y≤1,
∴0≤(t-3)≤1,
0≤t-3≤,
,
此時(shí)無(wú)解;
綜上:t的取值范圍是.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知直線PD垂直平分⊙O的半徑OA于點(diǎn)B,PD交⊙O于點(diǎn)C、D,PE是⊙O的切線,E為切點(diǎn),連接AE,交CD于點(diǎn)F.
(1)若⊙O的半徑為8,求CD的長(zhǎng);
(2)若PF=13,求PE的長(zhǎng);
(3)在(2)的條件下,sinA=,求EF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】從2021年起,江蘇省高考采用“”模式:“3”是指語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)3科為必選科目,“1”是指在物理、歷史2科中任選科,“2”是指在化學(xué)、生物、思想政治、地理4科中任選2科.
(1)若小麗在“1”中選擇了歷史,在“2”中已選擇了地理,則她選擇生物的概率是________;
(2)若小明在“1”中選擇了物理,用畫(huà)樹(shù)狀圖的方法求他在“2中選化學(xué)、生物的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 直線與軸交于點(diǎn),與雙曲線 在第三象限交于兩點(diǎn),且 ;下列等邊三角形,,,……的邊,,,……在軸上,頂點(diǎn)……在該雙曲線第一象限的分支上,則= ____,前25個(gè)等邊三角形的周長(zhǎng)之和為 _______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l1:y=﹣x與反比例函數(shù)y=的圖象交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)),已知A點(diǎn)的縱坐標(biāo)是2:
(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式;
(2)將直線l1:y=﹣x向上平移后的直線l2與反比例函數(shù)y=在第二象限內(nèi)交于點(diǎn)C,如果△ABC的面積為30,求平移后的直線l2的函數(shù)表達(dá)式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨著“微信運(yùn)動(dòng)”被越來(lái)越多的人關(guān)注和喜愛(ài),某數(shù)學(xué)興趣小組隨機(jī)調(diào)查了我區(qū)50名教師某日“微信運(yùn)動(dòng)”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表(不完整):
步數(shù) | 頻數(shù) | 頻率 |
0≤x<4000 | 8 | 0.16 |
4000≤x<8000 | 15 | 0.3 |
8000≤x<12000 | 12 | a |
12000≤x<16000 | b | 0.2 |
16000≤x<20000 | 3 | 0.06 |
20000≤x<24000 | 2 | 0.04 |
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問(wèn)題:
(1)寫(xiě)出a,b的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)我市約有5000名教師,用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過(guò)12000步(包含12000步)的教師有多少名?
(3)若在50名被調(diào)查的教師中,選取日行走步數(shù)超過(guò)16000步(包含16000步)的兩名教師與大家分享心得,用樹(shù)形圖或列表法求被選取的兩名教師恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】教材呈現(xiàn):如圖是華師版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材第78頁(yè)的部分內(nèi)容.
例2 如圖,在中,分別是邊的中點(diǎn),相交于點(diǎn),求證:,
證明:連結(jié).
請(qǐng)根據(jù)教材提示,結(jié)合圖①,寫(xiě)出完整的證明過(guò)程.
結(jié)論應(yīng)用:在中,對(duì)角線交于點(diǎn),為邊的中點(diǎn),、交于點(diǎn).
(1)如圖②,若為正方形,且,則的長(zhǎng)為 .
(2)如圖③,連結(jié)交于點(diǎn),若四邊形的面積為,則的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線與軸交于點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),與軸交于點(diǎn).垂直于軸的直線與拋物線交于點(diǎn),,與直線交于點(diǎn),若,記,則的取值范圍為( )
A.5<s<6B.6<s<7C.7<s<8D.8<s<9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A是直線AM與⊙O的交點(diǎn),點(diǎn)B在⊙O上,BD⊥AM垂足為D,BD與⊙O交于點(diǎn)C,OC平分∠AOB,∠B=60°.
(1)求證:AM是⊙O的切線;
(2)若DC=2,求圖中陰影部分的面積.(結(jié)果保留π和根號(hào))
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