Question

【題目】如圖，拋物線L1：（常數(shù)t>0）與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)G，頂點(diǎn)為Q，過(guò)Q作QM⊥軸交軸于點(diǎn)M，交雙曲線L2：于點(diǎn)P，且OG·MP=4．

（1）求值；

（2）當(dāng)t=2時(shí)，求PQ的長(zhǎng)；

（3）當(dāng)P是QM的中點(diǎn)時(shí)，求t的值；

（4）拋物線L1與拋物線L2所圍成的區(qū)域（不含標(biāo)界）內(nèi)整點(diǎn)（點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)）的個(gè)數(shù)有且只有1個(gè)，直接寫(xiě)出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）k=-2；（2）PQ=；（3）t=4；（4）．

【解析】

（1）由題意得G點(diǎn)和M點(diǎn)的坐標(biāo)，可得OG=t，根據(jù)OG·MP=4，可得MP，可得出P的坐標(biāo)，把P代入，即可得出答案；

（2）先根據(jù)題意得出Q的坐標(biāo)為（-1，），P的橫坐標(biāo)為-1，把x=-1代入求出y，即可求出答案；

（3）根據(jù)題意表示出Q的坐標(biāo)和P的坐標(biāo)，把P代入即可得出答案；

（4）根據(jù)題意得由L1與L2圍成的區(qū)域只有一個(gè)整點(diǎn)，分①當(dāng)x=-2時(shí)，滿(mǎn)足1<y≤2和當(dāng)x=-3時(shí)，滿(mǎn)足1<y≤2；②當(dāng)x=-2時(shí)，滿(mǎn)足2<y≤3和當(dāng)x=-3時(shí)，滿(mǎn)足0≤y≤1，兩種情況討論即可．

（1）由題意得G的坐標(biāo)為（-t，0），

∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0），

∴OG=t，

∵OG·MP=4，

∴MP=，

∴P的坐標(biāo)為（，），

把P（，）代入，得，

解得k=-2；

（2）由（1）得雙曲線L2：，

當(dāng)t=2時(shí)，拋物線L1：，

∴Q的坐標(biāo)為（-1，），P的橫坐標(biāo)為-1，

當(dāng)x=-1時(shí)，在中，y==2，

∴PQ=2-=；

（3）拋物線L1：，

∴Q的坐標(biāo)為（，），

∵P是QM的中點(diǎn)，

∴P的坐標(biāo)為（，），

把P（，）代入得：，

解得：t=4；

（4）由L1與L2圍成的區(qū)域只有一個(gè)整點(diǎn)，

①如圖，L1具有對(duì)稱(chēng)性，

∴當(dāng)x=-2時(shí)，滿(mǎn)足1<y≤2，

∴1<t-2≤2，

解得3<t≤4，

當(dāng)x=-3時(shí)，滿(mǎn)足1<y≤2，

∴1<（t-3）≤2，

<t-3≤，

，

∴t的取值范圍是；

②如圖：

當(dāng)x=-2時(shí)，滿(mǎn)足2<y≤3，

∴2<t-2≤3，

解得4<t≤5，

當(dāng)x=-3時(shí)，滿(mǎn)足0≤y≤1，

∴0≤（t-3）≤1，

0≤t-3≤，

，

此時(shí)無(wú)解；

綜上：t的取值范圍是．