Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過點(diǎn)（-1，7），且在x軸上截取長為3的線段，對稱軸方程為x=1，求這個二次函數(shù)的解析式，并指出x取何值時，函數(shù)值最大（或最�。�．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)

專題：

分析：把已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得到：7=a-b+c，①；
根據(jù)對稱軸方程得到：b=-2a，②
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系以及代數(shù)式的變形得到：4c=-5a，③
聯(lián)立①②③可以求得系數(shù)a、b、c的值．

解答：解：∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象過點(diǎn)（-1，7），
∴7=a-b+c，①
又∵對稱軸x=

b

2a

=1，可知 b=-2a，②
在x軸上截取線段長為3，不妨設(shè)拋物線與x軸交于x₁，x₂兩點(diǎn)，則有|x₂-x₁|=3，
即：（x₂-x₁）²=9，
    （x₂+x₁）²-4x₂•x₁=9，
又∵x₁+x₂=-

b

a

=2，x₁•x₂=

c

a

，
∴上式可化簡為：4c=-5a，③
由①②③，得
a=4，b=-8，c=-5
∴該二次函數(shù)的解析式為y=4x²-8x-5．
又∵a＞0，
∴函數(shù)在x=1處存在最小值，最小值為y=-9．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)．解題時，需要熟悉拋物線方程與一元二次方程間的轉(zhuǎn)化關(guān)系．