Question

【題目】如圖，四邊形ABCD中，已知AB=CD，點(diǎn)E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA、CD，分別交射線(xiàn)FE于P、Q兩點(diǎn)．求證：∠BPF=∠CQF．

Answer 1

【答案】證明見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：如圖，連接BD，作BD的中點(diǎn)M，連接FM、EM．利用三角形中位線(xiàn)定理證得△EMF是等腰三角形，則∠MEF=∠MFE．利用三角形中位線(xiàn)定理、平行線(xiàn)的性質(zhì)推知∠MEF=∠P，∠MFE=∠CQF．根據(jù)等量代換證得∠P=∠CQF；

試題解析：

證明：如圖，連接BD，作BD的中點(diǎn)M，連接EM、FM，如圖所示：

∵點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，

∴在△ABD中，EM∥AB，EM=AB，

∴∠MEF=∠P，

同理可證：FM∥CD，FM=CD．

∴∠MGH=∠DFH．

又∵AB=CD，

∴EM=FM，

∴∠MEF=∠MFE，

∴∠P=∠CQF．