Question

【題目】如圖，拋物線y＝a（x+3）（x﹣k）交x軸于點A、B，（A左B右），交y軸于點C，△AOC的周長為12，sin∠CBA＝，則下列結論：①A點坐標（﹣3，0）；②a＝﹣；③點B坐標（8，0）；④對稱軸x＝．其中正確的有（　　）個．

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

令y=0，求得A點坐標，B點用字母k表示的坐標，再把拋物線的解析式化成一般形式，則可用a與k的代數(shù)式表示OC，進而根據(jù)sin∠CBA=，用a與k的代數(shù)式表示BC，在由勾股定理得出a與k的方程，求得a的值，再根據(jù)△AOC的周長為12，求得k的值，則題目中的問題便可解決．

令y＝0，則y＝a（x+3）(x﹣k）＝0，

解得x＝﹣3或k，

∴A(﹣3,0），B(k,0），

故①正確；

∵y＝a（x+3）（x﹣k）＝ax2+（3a﹣ak）x﹣3ak，

∴C（0,﹣3ak），

∴OC＝﹣3ak，

∵sin∠CBA＝，

∴，

∴BC＝，

∵BC2﹣OC2＝OB2，

∴45a2k2﹣9a2k2＝k2，

∴a2＝，

∵拋物線的開口向下，

∴a＝﹣，

故②正確；

∴OC＝k，

∴AC＝，

∵△AOC的周長為12，

∴3+k+＝12，

解得，k＝8，

∴B（8,0），

故③正確；

∵A（﹣3,0），B（8,0），

∴對稱軸為：x＝，

故④正確．

綜上所述①②③④都正確

故選：A．