Question

6．在△ABC中，點E在角平分線BD的延長線上，且∠EAC=∠ABE，若2∠BAC+∠E=180°，tan∠EAC=$\frac{1}{2}$，AE=5，則BE的長是11．

Answer 1

分析 作CN⊥BE于N，CM⊥AE于M，先證明A、B、C、D四點共圓，得到AE=EC=5，再證明CE是∠BEM的角平分線，得出CN=CM，然后設(shè)CN=CM=a，在RT△CEM中利用勾股定理即可．

解答 解：如圖作CN⊥BE于N，CM⊥AE于M，
∵∠1=∠2，∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴A、B、C、E四點共圓，
∴AE=EC=5，
∵2∠BAC+∠AEB=180°，∠AEB=∠ACB，∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=∠BAC，
∴∠CEB=∠BAC，∠CEM=∠ABC，
∴∠CEB=∠CEM，
∵CN⊥AE⊥CM⊥AE，
∴CN=CM，設(shè)CN=CM=a，
在△CEN和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=CE}\\{CN=CM}\end{array}\right.$，
∴△CEN≌△CEM．
∴EN=EM，
∵tan∠EAC=$\frac{1}{2}$，∠1=∠2，
∴AM=BN=2a，EM=EN=2a-5，
在RT△ECM中，∵EC²=EM²+CM²，
∴5²=a²+（2a-5）²，
∴a=4（或0舍棄）
∴BE=BN+EN=8+3=11．
故答案為11．

點評 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、四點共圓、角平分線的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)四點共圓，學(xué)會出現(xiàn)角平分線如何添加輔助線，屬于中考�？碱}型．