Question

【題目】已知，如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為M（1，9），經(jīng)過拋物線上的兩點(diǎn)A（﹣3，﹣7）和B（3，m）的直線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（2）在拋物線上A，M兩點(diǎn)之間的部分（不包含A，M兩點(diǎn)），是否存在點(diǎn)D，使得S△DAC＝2S△DCM？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）上下平移直線AB，設(shè)平移后的直線與拋物線交與A′，B′兩點(diǎn)（A′在左邊，B'在右邊），且與y軸交與點(diǎn)P（0，n），若∠A′MB′＝90°，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+8，B（3，5）；（2）存在，點(diǎn)D（﹣1，5）；（3）n＝3

【解析】

（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）2+9，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝﹣1，即可求解；

（2）S△DAC＝2S△DCM，則HN＝2GH，即1﹣k﹣（3k﹣7）＝2（9﹣k﹣1+k），即可求解；

（3）∠GA′M＝∠HMB′，故tan∠GA′M＝tan∠HMB′，即：，而x1+x2＝0，x1x2＝n﹣8，y1+y2＝2n，y1y2＝4n﹣32+n2，即可求解．

解：（1）拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣1）2+9，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式并解得：a＝﹣1，

故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x+8，

將點(diǎn)B坐標(biāo)代入上式并解得：m＝5，

故點(diǎn)B（3，5）；

（2）過點(diǎn)M、C、A分別作三條相互平移的平行線，分別交y軸于點(diǎn)G、H、N，直線l與拋物線交于點(diǎn)D，

設(shè)直線m的表達(dá)式為：y＝kx+t，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入上式并解得：t＝9﹣k，

故直線m的表達(dá)式為：y＝kx+9﹣t，即點(diǎn)G（0，9﹣t），

同理直線l的表達(dá)式為：y＝kx+1﹣k，故點(diǎn)H（0，1﹣k），

同理直線n的表達(dá)式為：y＝kx+3k﹣7，故點(diǎn)N（0，3k﹣7），

S△DAC＝2S△DCM，則HN＝2GH，

即1﹣k﹣（3k﹣7）＝2（9﹣k﹣1+k），

解得：k＝﹣2，

故直線l的表達(dá)式為：y＝﹣2x+3…②，

聯(lián)立①②并解得：x＝5（舍去）或﹣1，

故點(diǎn)D（﹣1，5）；

（3）直線A′B′的表達(dá)式為：y＝2x+n，

設(shè)點(diǎn)A′、B′的坐標(biāo)分別為：（x1，y1）、（x2，y2），

將拋物線與直線A′B′的表達(dá)式聯(lián)立并整理得：

x2+n﹣8＝0，

故x1+x2＝0，x1x2＝n﹣8，

y1+y2＝2（x1+x2）+2n＝2n，同理可得：y1y2＝4n﹣32+n2，

過點(diǎn)M作x軸的平行線交過點(diǎn)A′與y軸的平行線于點(diǎn)G，交過點(diǎn)B′與y軸的平行線于點(diǎn)H，

∵∠A′MB′＝90°，

∴∠GMA′+∠GA′M＝90°，∠GMA′+∠MHB′＝90°，

∴∠GA′M＝∠HMB′，故tan∠GA′M＝tan∠HMB′，

即：，

而x1+x2＝0，x1x2＝n﹣8，y1+y2＝2n，y1y2＝4n﹣32+n2，

整理得：n2﹣13n+30＝0，

解得：n＝3或10（舍去10），

故n＝3．