Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)是軸上點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．

（1）求證：；

（2）若點(diǎn)在軸正半軸上，且與的距離等于，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若點(diǎn)在軸正半軸上，且于點(diǎn)，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，求直線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）；（3）

【解析】

（1）由A與B的坐標(biāo)確定OA和OB的長(zhǎng)，進(jìn)而確定B為OA的中點(diǎn)，而D為OC的中點(diǎn)，利用中位線定理即可證明；

（2）作BF⊥AC于點(diǎn)F，取AB的中點(diǎn)G，確定出G坐標(biāo)；由平行線間的距離相等求出BF的長(zhǎng)，在直角三角形ABF中，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出三角形BFG為等邊三角形，即∠BAC=30°，設(shè)OC=x，則有AC=2x，利用勾股定理求出OA的長(zhǎng)，即可確定C的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)四邊形ABDE為平行四邊形，可得AB∥DE，進(jìn)而得到DE垂直于OC，再由D為OC中點(diǎn)，得到OE=CE；再由OE垂直于AC，得到三角形AOC為等腰直角三角形，求出OC的長(zhǎng)，確定出C坐標(biāo)；設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可確定的解析式．

解：（1），，

，，

是的中點(diǎn)，

又是的中點(diǎn)，

是的中位線，

．

（2）如圖1，作BF⊥AC于點(diǎn)F，取AB的中點(diǎn)G，則G（0，3）；

∵BD∥AC，BD與AC的距離等于1，

∴BF=1，

∵在Rt△ABF中，∠AFB=90°，AB=2，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，

∴FG=BG=AB=1，

∴△BFG是等邊三角形，∠ABF=60°.

∴∠BAC=30°，

設(shè)OC=x，則AC=2x，

根據(jù)勾股定理得：

∵OA=4

∴．

．

（3）如圖2，當(dāng)四邊形ABDE為平行四邊形，

∴AB∥DE，

∴DE⊥OC，

∵點(diǎn)D為OC的中點(diǎn)，

∴OE=EC，

∵OE⊥AC，

∴∠0CA=45°，

∴OC=0A=4，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4，0）或（-4，0），

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b（k≠0）.

由題意得：解得：

直線的解析式為．