【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,,,點是軸上點,點為的中點.
(1)求證:;
(2)若點在軸正半軸上,且與的距離等于,求點的坐標(biāo);
(3)如圖2,若點在軸正半軸上,且于點,當(dāng)四邊形為平行四邊形時,求直線的解析式.
【答案】(1)見解析;(2);(3)
【解析】
(1)由A與B的坐標(biāo)確定OA和OB的長,進(jìn)而確定B為OA的中點,而D為OC的中點,利用中位線定理即可證明;
(2)作BF⊥AC于點F,取AB的中點G,確定出G坐標(biāo);由平行線間的距離相等求出BF的長,在直角三角形ABF中,利用斜邊上的中線等于斜邊的一半求出FG的長,進(jìn)而確定出三角形BFG為等邊三角形,即∠BAC=30°,設(shè)OC=x,則有AC=2x,利用勾股定理求出OA的長,即可確定C的坐標(biāo);
(3)當(dāng)四邊形ABDE為平行四邊形,可得AB∥DE,進(jìn)而得到DE垂直于OC,再由D為OC中點,得到OE=CE;再由OE垂直于AC,得到三角形AOC為等腰直角三角形,求出OC的長,確定出C坐標(biāo);設(shè)直線AC解析式為y=kx+b,利用待定系數(shù)法即可確定的解析式.
解:(1),,
,,
是的中點,
又是的中點,
是的中位線,
.
(2)如圖1,作BF⊥AC于點F,取AB的中點G,則G(0,3);
∵BD∥AC,BD與AC的距離等于1,
∴BF=1,
∵在Rt△ABF中,∠AFB=90°,AB=2,點G為AB的中點,
∴FG=BG=AB=1,
∴△BFG是等邊三角形,∠ABF=60°.
∴∠BAC=30°,
設(shè)OC=x,則AC=2x,
根據(jù)勾股定理得:
∵OA=4
∴.
.
(3)如圖2,當(dāng)四邊形ABDE為平行四邊形,
∴AB∥DE,
∴DE⊥OC,
∵點D為OC的中點,
∴OE=EC,
∵OE⊥AC,
∴∠0CA=45°,
∴OC=0A=4,
∴點C的坐標(biāo)為(4,0)或(-4,0),
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0).
由題意得:解得:
直線的解析式為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知等邊△ABC中,D為邊AC上一點.
(1)以BD為邊作等邊△BDE,連接CE,求證:AD=CE;
(2)如果以BD為斜邊作Rt△BDE,且∠BDE=30°,連接CE并延長,與AB的延長線交于F點,求證:AD=BF;
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,正方形的邊長為是邊上一動點,連接交于點,點是線段的垂直平分線與的交點,連接,并延長交邊于點.
(1)如圖1,若求的度數(shù)(用含的式子表示);
(2)如圖2,連接當(dāng)點運動時,探究的周長是否為定值?若是,求其值;若不是,說明理由;
(3)若點為的中點,則的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,A,B兩地被池塘隔開,小明通過下列方法測出了A,B間的距離:先在AB外選一點C,然后測出AC,BC的中點M,N,并測量出MN的長為12 m,由此他就知道了A,B間的距離,有關(guān)他這次探究活動的描述錯誤的是( )
A. AB=24 m B. MN∥AB C. △CMN∽△CAB D. CM∶MA=1∶2
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【題目】為了傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,我市組織了一次初三年級1 200名學(xué)生參加的“漢字聽寫”大賽,為了更好地了解本次大賽的成績分布情況,隨機抽取了100名學(xué)生的成績(滿分50分),整理得到如下的統(tǒng)計圖表:
成績(分) | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 43 | 44 | 45 | 46 | 47 | 48 | 49 | 50 |
人數(shù) | 1 | 2 | 3 | 3 | 6 | 7 | 5 | 8 | 15 | 9 | 11 | 12 | 8 | 6 | 4 |
成績分組 | 頻數(shù) | 頻率(百分比) |
35≤x<38 | 3 | 0.03 |
38≤x<41 | a | 0.12 |
41≤x<44 | 20 | 0.20 |
44≤x<47 | 35 | 0.35 |
47≤x≤50 | 30 | b |
請根據(jù)所提供的信息解答下列問題:
(1)頻率統(tǒng)計表中a=________,b=_______;
(2)請補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)請根據(jù)抽樣統(tǒng)計結(jié)果,估計該次大賽中成績不低于41分的學(xué)生有多少人?
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0.
(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)若△ABC的兩邊AB,AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根,第三邊BC的長為5,當(dāng)△ABC是等腰三角形時,求k的值.
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【題目】我校為了迎接體育中考,了解學(xué)生的體育成績,從全校1000名九年級學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進(jìn)行體育測試,其中“跳繩”成績制作圖如下:
根據(jù)圖表解決下列問題:
(1)本次共抽取了 名學(xué)生進(jìn)行體育測試,表(1)中,a= ,b= c= ;
(2)補全圖2.
(3)“跳繩”數(shù)在180(包括180)以上,則此項成績可得滿分.那么,你估計全校九年級有多少學(xué)生在此項成績中獲滿分?
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【題目】如圖,已知AB∥CD,點E、F分別在直線AB、CD上,∠EPF=90°,∠BEP=∠GEP,則∠1與∠2的數(shù)量關(guān)系為( )
A. ∠1=∠2B. ∠1=2∠2C. ∠1=3∠2D. ∠1=4∠2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點P是拋物線y=x2在第一象限內(nèi)的一點,點A的坐標(biāo)是(3,0).設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y).
(1)求△OPA的面積S關(guān)于變量y的關(guān)系式;
(2)S是x的什么函數(shù)?
(3)當(dāng)S=6時,求點P的坐標(biāo);
(4)在y=x2的圖象上求一點P′,使△OP′A的兩邊OP′=P′A.
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