Question

如圖，直線y=x+2與拋物線y=ax²+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），點P是線段AB上異于A、B的動點，過點P作PC⊥x軸于點D，交拋物線于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在這樣的P點，使線段PC的長有最大值，若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由；

（3）求△PAC為直角三角形時點P的坐標．

Answer 1

解：（1）∵B（4，m）在直線線y=x+2上，

∴m=4+2=6，

∴B（4，6），

∵A（，）、B（4，6）在拋物線y=ax²+bx﹣4上，

∴，

∵c=6，

∴a=2，b=﹣8，

∴y=2x²﹣8x+6．

（2）設(shè)動點P的坐標為（n，n+2），則C點的坐標為（n，2n²﹣8n+6），

∴PC=（n+2）﹣（2n²﹣8n+6），

=﹣2n²+9n﹣4，

=﹣2（n﹣）²+，

∵PC＞0，

∴當n=時，線段PC最大且為．

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=﹣x+b，

把A（，）代入得：=﹣+b，解得：b=3，

∴直線AC解析式：y=﹣x+3，

點C在拋物線上，設(shè)C（m，2m²﹣8m+6），代入y=﹣x+3得：2m²﹣8m+6=﹣m+3，

整理得：2m²﹣7m+3=0，

解得；m=3或m=，

∴P（3，0）或P（，）．