Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A、B分別在x軸、y軸上，線段OA、OB的長（OA＜OB）是一元二次方程x2﹣18x+72＝0組的解．點C是直線y＝2x與直線AB的交點，點D在線段OC上，OD＝2．

（1）求點C的坐標；

（2）求直線AD的解析式；

（3）P是直線AD上的點，在平面內是否存在點Q，使以O、A、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，則求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）C的坐標為(3，6)；（2）y＝﹣x+6；（3）存在，Q的坐標為(﹣3，3)或(3，﹣3)或(3，﹣3)或(6，6)．

【解析】

（1）設直線AB的解析為y＝kx+b，解方程x2﹣18x+72＝0，得到的解即為OA，OB的長度，進而知道A和B的坐標，再把其橫縱坐標分別代入求出k和b的值即可；把求出的解析式和直線y＝2x聯(lián)立解方程組，方程組的解即為點C的坐標．

（2）要求直線AD的解析式，需求出D的坐標，因為點D在直線OC上因此可設D（a，2a），又因為OD＝2，由勾股定理可求出a的值，從而求得點D的坐標，把A、D的坐標代入，利用方程組即可求解．

（3）分四種情形：如圖2中，當四邊形OAP1Q1是菱形時．當四邊形OAP2Q2是菱形時．當四邊形AOQ3P3是菱形時．當四邊形OP4AQ4是菱形時，分別求解即可解決問題．

（1）解方程x2﹣18x+72＝0，得到x＝6或12，

∵線段OA、OB的長（0A＜OB）是方程組的解，

∴OA＝6，OB＝12，

∴A（6，O），B（0，12），

設直線AB的解析為y＝kx+b，

∴，

∴直線AB：y＝﹣2x+12，

聯(lián)立，

解得：，

點C的坐標為（3，6）

（2）如圖1中，設點D：（a，2a），作DF⊥OA于F．

由OD＝2，OF＝a，DF＝2a，可得a2+（2a）2＝（2）2，

得：a＝±2，

∵由圖得，a＞0，

∴a＝2．

∴D（2，4），

設直線AD的解析式為y＝kx+b

把A（6，0），D（2，4）代入得，

解得，

∴直線AD的解析式為y＝﹣x+6；

（3）存在．如圖2中，

當四邊形OAP1Q1是菱形時，AO＝AP1＝P1Q1＝6，

∵∠DAO＝45°，

∴P1（6﹣3，3），

∴Q1（﹣3，3），

當四邊形OAP2Q2是菱形時，同法可得Q2（3，﹣3），

當四邊形AOQ3P3是菱形時，∵∠AOP3＝90°，

∴四邊形OAQ3P3是正方形，可得Q3（6，6），

當四邊形OP4AQ4是菱形時，

∵∠DAO＝∠OAQ4＝45°

∴∠P4AQ4＝90°，

∴四邊形OP4AQ4是正方形，

∴Q4（3，﹣3），

綜上所述，滿足條件的點Q的坐標為（﹣3，3）或（3，﹣3）或（3，﹣3）或（6，6）．