Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知Rt△AOB的兩直角邊OA，OB分別在x軸，y軸的正半軸上（OA＜OB），且OA，OB的長(zhǎng)分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個(gè)根，線段AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)C，分別交x軸，y軸于點(diǎn)D，E．

（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)：A ， B；
（2）求線段AD的長(zhǎng)；
（3）已知P是直線CD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使得以點(diǎn)C、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是以5為邊長(zhǎng)的正方形？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）（6，0）；（0，8）
（2）

解：在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，

∴AB= =10，

∵線段AB的垂直平分線CD交AB于點(diǎn)C，

∴AC= AB=5．

在△ACD與△AOB中，

∵∠CAD=∠OAB，∠ACD=∠AOB=90°，

∴△ACD∽△AOB，

∴ = ，即 = ，

解得AD= ，

∵A（6，0），點(diǎn)D在x軸上，

∴D（﹣ ，0）．

設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，

由題意知C為AB中點(diǎn)，

∴C（3，4），

∵D（﹣ ，0），

∴ ，解得 ，

∴直線CD的解析式為y= x+ ；

（3）

解：在坐標(biāo)平面內(nèi)存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)C、P、Q、M為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，且該正方形的邊長(zhǎng)為5，

∵AC=BC= AB=5，

∴以點(diǎn)C、P、Q、M為頂點(diǎn)的正方形的邊長(zhǎng)為5，且點(diǎn)Q與點(diǎn)B或點(diǎn)A重合．分兩種情況：

① 當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易求BM的解析式為y= x+8，設(shè)M（x， x+8），

∵B（0，8），BM=5，

∴（ x+8﹣8）2+x2=52，

化簡(jiǎn)整理，得x2=16，

解得x=±4，

∴M2（4，11），M3（﹣4，5）；

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，易求AM的解析式為y= x﹣ ，

設(shè)M（x， x﹣ ），

∵A（6，0），AM=5，

∴（ x﹣ ）2+（x﹣6）2=52，

化簡(jiǎn)整理，得x2﹣12x+20=0，

解得x1=2，x2=10，

∴M4（2，﹣3），M1（10，3）；

綜上所述，所求點(diǎn)M的坐標(biāo)為M1（10，3），M2（4，11），M3（﹣4，5），M4（2，﹣3）．

【解析】解：（1）解方程x2﹣14x+48=0，
得x1=6，x2=8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；
所以答案是（6，0），（0，8）．
【考點(diǎn)精析】掌握相似三角形的判定是解答本題的根本，需要知道相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）．