Question

【題目】（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b．

①填空：當(dāng)點(diǎn)A位于　 　時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為　 　（用含a，b的式子表示）

（2）應(yīng)用：點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=3，AB=1，如圖2所示，分別以AB、AC為邊，作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，連接CD，BE．

①請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段，并說明理由；

②直接寫出線段BE長的最大值．

Answer 1

【答案】（1）CB的延長線上，a+b；（2）①CD=BE．理由見解析；②線段BE長的最大值為4．理由見解析.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，可得當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b；

（2）①根據(jù)等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，可得△CAD≌△EAB（SAS），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CD=BE；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，線段BE長的最大值=線段CD長的最大值，而當(dāng)線段CD的長取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長線上，此時(shí)CD=3+1=4，可得BE=4．

試題解析：（1）如圖1，

∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，

∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長線上時(shí)，線段AC的長取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b．

（2）①CD=BE．

理由：如圖2，

∵三角形ABD和三角形ACE是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，

即∠CAD=∠EAB，

在△CAD和△EAB中，

∴△CAD≌△EAB（SAS），

∴CD=BE；

②線段BE長的最大值為4．

理由：∵線段BE長的最大值=線段CD長的最大值，

∴當(dāng)線段CD的長取得最大值時(shí)，點(diǎn)D在CB的延長線上，

此時(shí)CD=3+1=4，

∴BE=4．