Question

9．已知y是關(guān)于x的函數(shù)，且x，y滿足方程組$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=4-a}\\{x-y=3a}\end{array}\right.$，
（1）求函數(shù)y的表達(dá)式；
（2）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），求以P為圓心、1為半徑的圓與函數(shù)y的圖象有交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把a(bǔ)作為已知數(shù)，分別得到x、y和a的數(shù)量關(guān)系即可求出函數(shù)y的表達(dá)式；
（2）易求點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，當(dāng)圓P與直線y相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，則PC⊥直線y，求出此時(shí)P的橫坐標(biāo)即可得到函數(shù)y的圖象有交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍．

解答 解：（1）
$\left\{\begin{array}{l}{x+3y=4-a①}\\{x-y=3a②}\end{array}\right.$，
①×3，得3x+9y=12-3a③，
②+③，得4x+8y=12，即x+2y=3，
得，$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$；
（2）當(dāng)y=0時(shí)，x=3，即函數(shù)y的圖象與x軸交于點(diǎn)A（3，0），
當(dāng)x=0時(shí)，y=$\frac{3}{2}$，即函數(shù)y的圖象與y軸交于點(diǎn)B（0，$\frac{3}{2}$），
當(dāng)圓P與直線y相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，則PC⊥直線y，
此時(shí)∠PCA=90°
∴∠PCA=∠BOA，
且∠BAO=∠PAC，
∴△ABO∽△APC，
∴$\frac{PC}{OB}=\frac{AC}{OA}$，即$\frac{1}{{\frac{3}{2}}}=\frac{AC}{3}$，
∴AC=2，
∴PA=$\sqrt{5}$
此時(shí)，P的橫坐標(biāo)為3-$\sqrt{5}$或3+$\sqrt{5}$，
∴當(dāng)圓P與直線y有交點(diǎn)時(shí)，3-$\sqrt{5}$≤m≤3+$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系、一次函數(shù)和坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、相似三角形的判定和性質(zhì)以及切線的性質(zhì)，題目的綜合性較強(qiáng)，難度中等，是一道不錯(cuò)的中考題．