【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,AC是對角線,AB=8cm,BC=6cm.點P從點A出發(fā),沿AC方向勻速運動,速度為2cm/s,同時,點Q從點B出發(fā),沿BA方向勻速運動,速度為2cm/s.過點P作PM⊥AD于點M,連接PQ,設(shè)運動時間為t(s)(0<t<4),解答下列問題:
(1)當(dāng)t為何值時,點Q在線段AC的中垂線上;
(2)寫出四邊形PQAM的面積為S(cm2)與時間t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使S四邊形PQAM:S矩形ABCD=9:50?若存在,求出t的值;若不存在,請說明理由;
(4)當(dāng)t為何值時,△APQ與△ADC相似.
【答案】(1)t=;(2)S四邊形PQAM=﹣t2+t;(3)存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD;(4)當(dāng)t=或時,△APQ與△ABC相似.
【解析】試題分析:(1)由點Q在線段AC的中垂線上可知CQ=AQ=8﹣2t,在Rt△BCQ中根據(jù)BC2+BQ2=CQ2列方程求解.
(2)先證明△APM∽△ACD,列方程用含t的代數(shù)式表示出AM和PM的值,然后根據(jù)四邊形PQAM的面積=△APQ的面積+△APM的面積求解;
(3)存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD.首先根據(jù)四邊形ABCD是矩形,求出S矩形ABCD的值是多少;然后分別求出△APM、△APQ的面積各是多少,再根據(jù)S四邊形PQAM=S矩形ABCD,求出t的值是多少即可.
(4)當(dāng)t=2或1時,△APQ與△ABC相似.根據(jù)題意,分兩種情況討論:①當(dāng)∠AQP=90°時,△APQ與△ABC相似;②當(dāng)∠APQ=90°時,△APQ與△ABC相似;求出當(dāng)t為何值時,△APQ與△ABC相似即可.
解:(1)由題意CQ=AQ=8﹣2t,
在Rt△BCQ中,∵BC2+BQ2=CQ2,
∴62+(2t)2=(8﹣2t)2,
解得t=.
(2)∵四邊形ABCD是矩形,
∴S矩形ABCD=ABBC=8×6=48,
∵PM⊥AD,CD⊥AD,
∴PM∥CD,
∴△APM∽△ACD,
∴==,
即 ==,
解得AM=t,PM=t,
∴S△APM=AMPM=×t×t=t2.
∵sin∠PAQ==,
∴S△APQ=APAQsin∠PAQ=×2t(8﹣2t)×=t(4﹣t),
∵S四邊形PQAM=t2+t(4﹣t)=﹣t2+t.
(3)存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD.
如圖2,
,
∵S四邊形PQAM=S矩形ABCD,
∴t2+t(4﹣t)=×48,
整理,可得t2﹣20t+36=0
解得t=2或t=18(舍去),
∴存在t=2,使S四邊形PQAM=S矩形ABCD.
(4)當(dāng)t=2或1時,△APQ與△ABC相似.
①當(dāng)△APQ∽△ACB,
∴=,
即 =,
解得t=2,
②如圖3,
,
當(dāng)∠APQ=90°時,△APQ與△ABC相似,
∵tan∠PAQ==,
∴=,
即 =,
∴PQ=t,
∵BQ=t,
∴AQ=8﹣2t,
在Rt△APQ中,
∵AP2+PQ2=AQ2,
∴(2t)2+(t)2=(8﹣2t)2,
解得t=1或t=﹣16(舍去).
綜上,可得
當(dāng)t=2或1時,△APQ與△ABC相似.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】嘉興某校組織了“垃圾分類”知識競賽活動,獲獎同學(xué)在競賽中的成績繪成如下圖表,
根據(jù)圖表提供的信息解答下列問題:
垃圾分類知識競賽活動成績統(tǒng)計表
分?jǐn)?shù)段 | 頻數(shù) | 頻數(shù)頻率 |
80≤x<85 | x | 0.2 |
85≤x<90 | 80 | y |
90≤x<95 | 60 | 0.3 |
95≤x<100 | 20 | 0.1 |
(1)求本次獲獎同學(xué)的人數(shù);
(2)求表中x,y的數(shù)值:并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某林場要考察一種幼樹在一定條件下的移植成活率,在移植過程中的統(tǒng)計結(jié)果如下表所示:
移植的幼樹n/棵 | 500 | 1000 | 2000 | 4000 | 7000 | 10000 | 12000 | 15000 |
成活的幼樹m/棵 | 423 | 868 | 1714 | 3456 | 6020 | 8580 | 10308 | 12915 |
成活的頻率 | 0.846 | 0.868 | 0.857 | 0.864 | 0.860 | 0.858 | 0.859 | 0.861 |
在此條件下,估計該種幼樹移植成活的概率為_________________(精確到);若該林場欲使成活的幼樹達(dá)到4.3萬棵,則估計需要移植該種幼樹_________萬棵.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本題滿分6分)某公司調(diào)查某中學(xué)學(xué)生對其環(huán)保產(chǎn)品的了解情況,隨機(jī)抽取該校部分學(xué)生進(jìn)行問卷,結(jié)果分“非常了解”、“比較了解”、“一般了解”、“不了解”四種類型,分別記為A、B、C、D.根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計圖.
(1)本次問卷共隨機(jī)調(diào)查了 名學(xué)生,扇形統(tǒng)計圖中m= .
(2)請根據(jù)數(shù)據(jù)信息補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖;
(3)若該校有1000名學(xué)生,估計選擇“非常了解”、“比較了解”共約有多少人?
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【題目】某工廠在生產(chǎn)過程中要消耗大量電能,消耗每千度電產(chǎn)生利潤與電價是一次函數(shù)關(guān)系,經(jīng)過測算,工廠每千度電產(chǎn)生利潤y(元/千度))與電價x(元/千度)的函數(shù)圖象如圖:
(1)請求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)為了實現(xiàn)節(jié)能減排目標(biāo),有關(guān)部門規(guī)定,該廠電價x(元/千度)與每天用電量m(千度)的函數(shù)關(guān)系為x=20m+500,且該工廠每天用電量不超過50千度,為了獲得最大利潤w,工廠每天應(yīng)安排使用多少度電?工廠每天消耗電產(chǎn)生利潤最大是多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】正方形ABCD中,點O是對角線DB的中點,點P是DB所在直線上的一個動點,PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.
(1)當(dāng)點P與點O重合時(如圖①),猜測AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點P在線段DB上(不與點D、O、B重合)時(如圖②),探究(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,寫出證明過程;若不成立,請說明理由;
(3)當(dāng)點P在DB的長延長線上時,請將圖③補(bǔ)充完整,并判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,直接寫出結(jié)論;若不成立,請寫出相應(yīng)的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知矩形ABCD沿著直線BD折疊,使點C落在C/處,BC/交AD于E,AD=8,AB=4,DE的長=________________.
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【題目】(1)類比計算
①6×12=1×2×3;
②6×22=2×3×5﹣1×2×3;
③6×32=3×4×7﹣2×3×5;
④6×42=4×5×9﹣3×4×7;
⑤ ;
(2)規(guī)律提煉
寫出第n個式子(用含字母n的式子表示).
(3)問題解決
求12+22+33+42+…+592+602的值.
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【題目】如圖所示,一個點從數(shù)軸上的原點開始,先向右移動2個單位長度,再向左移動5個單位長度,可以看到終點表示是-3,已知A、B是數(shù)軸上的點,請參照下圖并思考,完成下列各題.
(1)如果點A表示的數(shù)-1,將點A向右移動4個單位長度,那么終點B表示的數(shù)是____.A、B兩點間的距離是__________.
(2)如果點A表示的數(shù)2,將點A向左移動6個單位長度,再向右移動3個單位長度,那么終點B表示的數(shù)是____.A、B兩點間的距離是____.
(3)如果點A表示的數(shù)m,將點A向左移動n個單位長度,再向左移動p個單位長度,那么請你猜想終點B表示的數(shù)是___.A、B兩點間的距離是______.
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