【題目】正方形ABCD中,點(diǎn)O是對(duì)角線DB的中點(diǎn),點(diǎn)P是DB所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),PE⊥BC于E,PF⊥DC于F.
(1)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)(如圖①),猜測(cè)AP與EF的數(shù)量及位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段DB上(不與點(diǎn)D、O、B重合)時(shí)(如圖②),探究(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,寫(xiě)出證明過(guò)程;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在DB的長(zhǎng)延長(zhǎng)線上時(shí),請(qǐng)將圖③補(bǔ)充完整,并判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,直接寫(xiě)出結(jié)論;若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)的結(jié)論.
【答案】(1)AP=EF,AP⊥EF,理由見(jiàn)解析;(2)仍成立,理由見(jiàn)解析;(3)仍成立,理由見(jiàn)解析;
【解析】試題分析:(1)正方形中容易證明∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,利用AAS證明△AMO≌△FOE.(2) (3)按照(1)中的證明方法證明△AMP≌△FPE(SAS),結(jié)論依然成立.
試題解析:
(1)AP=EF,AP⊥EF,理由如下:
連接AC,則AC必過(guò)點(diǎn)O,延長(zhǎng)FO交AB于M;
∵OF⊥CD,OE⊥BC,且四邊形ABCD是正方形,
∴四邊形OECF是正方形,
∴OM=OF=OE=AM,
∵∠MAO=∠OFE=45°,∠AMO=∠EOF=90°,
∴△AMO≌△FOE(AAS),
∴AO=EF,且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°,即OC⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF.
(2)題(1)的結(jié)論仍然成立,理由如下:
延長(zhǎng)AP交BC于N,延長(zhǎng)FP交AB于M;
∵PM⊥AB,PE⊥BC,∠MBE=90°,且∠MBP=∠EBP=45°,
∴四邊形MBEP是正方形,
∴MP=PE,∠AMP=∠FPE=90°;
又∵AB﹣BM=AM,BC﹣BE=EC=PF,且AB=BC,BM=BE,
∴AM=PF,
∴△AMP≌△FPE(SAS),
∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF,
∵∠PEF+∠PFE=90°,∠FPN=∠PEF,
∴∠FPN+∠PFE=90°,即AP⊥EF,
故AP=EF,且AP⊥EF.
(3)題(1)(2)的結(jié)論仍然成立;
如右圖,延長(zhǎng)AB交PF于H,證法與(2)完全相同.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】用5個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體組成如圖所示的幾何體.
(1)該幾何體的體積是多少立方單位,表面積是多少平方單位(包括底面積);
(2)請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉杏脤?shí)線畫(huà)出它的三個(gè)視圖.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,點(diǎn)E在AC上(且不與點(diǎn)A、C重合).在△ABC的外部作等腰Rt△CED,使∠CED=90°,連接AD,分別以AB,AD為鄰邊作平行四邊形ABFD,連接AF.
(1)求證:△AEF是等腰直角三角形;
(2)如圖2,將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí),連接AE,求證:AF=AE;
(3)如圖3,將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)平行四邊形ABFD為菱形,且△CED在△ABC的下方時(shí),若AB=2,CE=2,求線段AE的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在電線桿CD處引拉線CE,CF固定電線桿,拉線CE和地面所成的角∠CED=67°,在離電線桿6米的B處安置高為1.5米的測(cè)角儀AB,在A處測(cè)得電線桿上C處的仰角為37°,求拉線CE的長(zhǎng)(參考數(shù)據(jù):sin67°≈,cos67°≈,tan67°≈,sin37°≈,cos37°≈,tsn37°≈).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在矩形ABCD中,AC是對(duì)角線,AB=8cm,BC=6cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s,同時(shí),點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā),沿BA方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s.過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AD于點(diǎn)M,連接PQ,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<4),解答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)t為何值時(shí),點(diǎn)Q在線段AC的中垂線上;
(2)寫(xiě)出四邊形PQAM的面積為S(cm2)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時(shí)刻t,使S四邊形PQAM:S矩形ABCD=9:50?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)當(dāng)t為何值時(shí),△APQ與△ADC相似.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果關(guān)于的分式方程有負(fù)分?jǐn)?shù)解,且關(guān)于的不等式組的解集為,那么符合條件的所有整數(shù)的積是( )
A. B. 0 C. 3 D. 9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,四邊形OABC是長(zhǎng)方形,O為原點(diǎn),點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)C在y軸上且A(10,0),C(0,6),點(diǎn)D在AB邊上,將△CBD沿CD翻折,點(diǎn)B恰好落在OA邊上點(diǎn)E處.
(1)求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)求折痕CD所在直線的函數(shù)表達(dá)式;
(3)請(qǐng)你延長(zhǎng)直線CD交x軸于點(diǎn)F. ①求△COF的面積;
②在x軸上是否存在點(diǎn)P,使S△OCP=S△COF?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,a、b、c 均為非零實(shí)數(shù),且 a>b>c,關(guān)于 x 的一元二次方程ax2 bx c 0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1和 2。(1)4a +2b +c _____0,a _____0,c _________0(填“>”,“=”,“<”)(2)方程 ax2 bx c 0 的另一個(gè)根 x1=_______(用含 a、c 的代數(shù)式表示).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某校初一(2)班組織學(xué)生從A地到B地步行野營(yíng),勻速前進(jìn),該班師生共56人,每8人排成一排,相鄰兩排之間間隔1米,途中經(jīng)過(guò)一座橋CD,隊(duì)伍從開(kāi)始上橋到剛好完全離開(kāi)橋共用了150秒,當(dāng)隊(duì)尾剛好走到橋的一端D處時(shí),排在隊(duì)尾的游班長(zhǎng)發(fā)現(xiàn)小蔣還在橋的另一端C處拍照,于是以隊(duì)伍1.5倍的速度返回去找小萍,同時(shí)隊(duì)伍仍按原速度繼續(xù)前行,30秒后,小蔣發(fā)現(xiàn)游班長(zhǎng)返回來(lái)找他,便立刻以2.1米/秒的速度向游班長(zhǎng)方向行進(jìn),小蔣行進(jìn)40秒后與游班長(zhǎng)相遇,相遇后兩人以隊(duì)伍2倍的速度前行追趕隊(duì)伍.
(1)初一(2)班的隊(duì)伍長(zhǎng)度為 米;
(2)求班級(jí)隊(duì)伍行進(jìn)的速度(列一元一次方程解決問(wèn)題);
(3)請(qǐng)問(wèn):游班長(zhǎng)從D處返回趙小萍開(kāi)始到他們兩人追上隊(duì)首的劉老師一共用了多少時(shí)間?
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