Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸， 軸分別交于點(diǎn)A、B，拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，0﹤t﹤5.

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似；

（3）當(dāng)△ADE為等腰三角形時(shí)，求t的值；

（4）拋物線上是否存在一點(diǎn)F，使得以A、B、D、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出F點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；

（2）t的值為或；

（3）t的值為或或；

（4）符合條件的點(diǎn)F存在，共有兩個(gè)（4，8），，-8）.

【解析】（1）由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式；（2）利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）過E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，過D作DM⊥AB于點(diǎn)M即可求出t的值；（4）分當(dāng)AD為邊時(shí)，當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo).

解：(1)A（6,0），B（0,8），依題意知，解得，

∴.

(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t，

①當(dāng)△ADE∽△AOB時(shí)， ，∴，∴；

②當(dāng)△AED∽△AOB時(shí)， ，∴，∴；

綜上所述，t的值為或.

(3) ①當(dāng)AD=AE時(shí)，t=10-2t，∴；

②當(dāng)AE=DE時(shí)，過E作EH⊥x軸于點(diǎn)H，則AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=，∴，∴；

③當(dāng)AD=DE時(shí)，過D作DM⊥AB于點(diǎn)M，則AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=，∴，∴；

綜上所述，t的值為或或.

(4) ①當(dāng)AD為邊時(shí)，則BF∥x軸，∴，求得x=4，∴F（4，8）；

②當(dāng)AD為對(duì)角線時(shí)，則，∴，解得，∵x﹥0，∴，∴.

綜上所述，符合條件的點(diǎn)F存在，共有兩個(gè)（4，8），，-8）.

“點(diǎn)睛”本題考查二次函數(shù)綜合題、相似三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，學(xué)會(huì)分類討論，用方程的思想解決問題，屬于中考?jí)狠S題．