Question

【題目】已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜邊OB=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，如題圖1，連接BC．

（1）填空：∠OBC=　 　°；

（2）如圖1，連接AC，作OP⊥AC，垂足為P，求OP的長度；

（3）如圖2，點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB邊上運(yùn)動(dòng)，M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)運(yùn)動(dòng)停止，已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位/秒，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位/秒，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，△OMN的面積為y，求當(dāng)x為何值時(shí)y取得最大值？最大值為多少？

Answer 1

【答案】（1）60；（2）；（3）.

【解析】

（1）只要證明△OBC是等邊三角形即可；

（2）求出△AOC的面積，利用三角形的面積公式計(jì)算即可；

（3）分三種情形討論求解即可解決問題：①當(dāng)0＜x≤時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NE⊥OC且交OC于點(diǎn)E．②當(dāng)＜x≤4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)．

③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)，作OG⊥BC于G．

（1）由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：OB=OC，∠BOC=60°，

∴△OBC是等邊三角形，

∴∠OBC=60°，

故答案為：60；

（2）∵OB=4，∠ABO=30°，

∴OA=OB=2，AB=OA=2，

∴S△AOC=OAAB=×2×2=2，

∵△BOC是等邊三角形，

∴∠OBC=60°，∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°，

∴AC==2，

∴OP=；

（3）①當(dāng)0＜x≤時(shí)，M在OC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NE⊥OC且交OC于點(diǎn)E，如圖，

則NE=ONsin60°=x，

∴S△OMN=OMNE=×1.5x×x，

∴y=x2，

∴x=時(shí)，y有最大值，最大值=；

②當(dāng)＜x≤4時(shí)，M在BC上運(yùn)動(dòng)，N在OB上運(yùn)動(dòng)，

如圖，作MH⊥OB于H．則BM=8﹣1.5x，MH=BMsin60°=（8﹣1.5x），

∴y=×ON×MH=﹣x2+2x，

當(dāng)x=時(shí)，y取最大值，y＜；

③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，M、N都在BC上運(yùn)動(dòng)，作OG⊥BC于G，如圖，

MN=12﹣2.5x，OG=AB=2，

∴y=MNOG=12﹣x，

當(dāng)x=4時(shí)，y有最大值，最大值=2，

綜上所述，y有最大值，最大值為．