Question

7．如圖1，B、D分別是x軸和y軸的正半軸上的點(diǎn)，AD∥x軸，AB∥y軸（AD＞AB），點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以3cm/s的速度沿C-D-A-B勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)終止；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度，沿B-C-D勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)終止．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（s），△PCQ的面積為S（cm²），S與t之間的函數(shù)關(guān)系由圖2中的曲線段OE，線段EF、FG表示．
（1）求A、D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求圖2中線段FG的函數(shù)關(guān)系式；
（3）是否存在這樣的時(shí)間t，使得△PCQ為等腰三角形？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）由圖象可知CD=3×1=3，設(shè)AD=BC=a，根據(jù)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A，列出方程即可求出a．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，點(diǎn)P在AB上時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象是線段FG，由此即可解決問題．
（3）分三種情形討論：①Q(mào)在BC上，P在CD上時(shí)，列出方程即可，②Q在BC上，P在AD上時(shí)，由CP=CQ得6-2t=$\sqrt{{3}^{2}+（3t-3）^{2}}$，整理得5t²+6t+54=0，△＜0無解．
由PQ=CQ得$\sqrt{{3}^{2}+（9-5t）^{2}}$=6-2t，整理得7t²-22t+18=0，△＜0，無解．當(dāng)PC=PQ得6-2t=2（3t-3），解得t=$\frac{3}{2}$，
③Q在CD上，P在AB上時(shí)，由CP=PQ列出方程即可．

解答 解：（1）設(shè)AD=BC=a，
由圖象可知CD=AB=3，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A，
∴$\frac{a}{3}$=$\frac{a-3}{2}$，
∴a=6，
∴點(diǎn)A坐標(biāo)（6，3），點(diǎn)D坐標(biāo)（0，3）．
（2）當(dāng)點(diǎn)Q在CD上，點(diǎn)P在AB上時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象是線段FG，
∴S=$\frac{1}{2}$•PC•6=3PC=3（（2t-6）=6t-18．
（3）①Q(mào)在BC上，P在CD上時(shí)，由CP=CQ得6-2t=3t，解得t=$\frac{6}{5}$（不合題意舍棄，$\frac{6}{5}$＞1），
②Q在BC上，P在AD上時(shí)，
由CP=CQ得6-2t=$\sqrt{{3}^{2}+（3t-3）^{2}}$，
整理得5t²+6t+54=0，△＜0無解．
由PQ=CQ，如圖1中，

作PK⊥OB于K，則DP=OK=3t-3，KQ=6-2t-（3t-3）=9-5t，
∴PQ=$\sqrt{P{K}^{2}+K{Q}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（9-5t）^{2}}$
∴$\sqrt{{3}^{2}+（9-5t）^{2}}$=6-2t，
整理得7t²-22t+18=0，△＜0，無解．
當(dāng)PC=PQ．如圖2中，

作PK⊥OB于K，則OK=KQ=DP，
∴OQ=2DP，
∴6-2t=2（3t-3），解得t=$\frac{3}{2}$，
③Q在CD上，P在AB上時(shí)，由CP=PQ，
如圖3中，

作PK⊥OD于K，則KQ=OK=PB，
∴2PB=OQ，
∴2（12-3t）=2t-6，解得t=$\frac{15}{4}$，
綜上所述t=$\frac{3}{2}$s或$\frac{15}{4}$s時(shí)，△PCQ為等腰三角形是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、勾股定理、等腰三角形的大盤會(huì)選擇等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖象信息，學(xué)會(huì)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考�？碱}型．