Question

已知拋物線y=ax²+bx經(jīng)過點A（2，0）頂點為D（1，-1）．
（1）確定拋物線的解析式；
（2）直線y=3與拋物線相交于B、C兩點（B點在C點左側(cè)），以B、點C及原點O為頂點作平行四邊形．設(shè)平行四邊形的另一頂點為Q，請求出點Q的坐標．
（3）若以（2）小題中BC為一邊，拋物線的任一點P為另一頂點作為平行四邊形，當平行四邊形面積為8時，確定P點的坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-配方法,平行四邊形的性質(zhì),平移的性質(zhì)

專題：綜合題,分類討論

分析：（1）可根據(jù)拋物線的頂點坐標將拋物線的解析式設(shè)成頂點式，然后把點A的坐標代入拋物線的頂點式，就可解決問題；
（2）可先求出點B、C的坐標，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及平移的性質(zhì)就可求出點Q的坐標；
（3）根據(jù)條件可求出點P到BC的距離，從而得到點P的縱坐標，然后將其代入拋物線的解析式，就可得到點P的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx頂點為D（1，-1），
∴拋物線的解析式可設(shè)為y=a（x-1）²-1，
又∵該拋物線經(jīng)過點A（2，0），
∴a（2-1）²-1=0，
∴a=1，
∴y=（x-1）²-1=x²-2x，
即拋物線的解析式為y=x²-2x；

（2）如圖1，
當y=3時，x²-2x=3，
解得：x₁=3，x₂=-1，
∴B（-1，3），C（3，3），
∴BC=4．
①若BC為平行四邊形的一邊，
則OQ∥BC，且OQ=BC，
∴點Q在x軸上，且OQ=4，
∴點Q的坐標為（-4，0）或（4，0）；
②若BC為平行四邊形的一條對角線，
則OB∥CQ，且OB=CQ，
∴線段CQ可由線段OB平移所得．
∵點O（0，0）向右移動3個單位，再向上移動3個單位到達點C（3，3），
∴點B（-1，3）向右移動3個單位，再向上移動3個單位到達點Q，
∴點Q的坐標為（-1+3，3+3）即（2，6）．
綜上所述：符合條件的點Q的坐標為（-4，0）或（4，0）或（2，6）；

（3）過點P作PH⊥BC于點H，如圖2，
由題可得：S_△PBC=

1

2

BC•PH=

1

2

×8=4，
∵BC=4，∴PH=2．
①當點P在BC下方時，y_P=3-2=1，
由x²-2x=1得x₃=1+

2

，x₄=1-

2

，
∴點P的坐標為（1+

2

，1）或（1-

2

，1）；
②當點P在BC上方時，y_P=3+2=5，
由x²-2x=5得x₅=1+

6

，x₆=1-

6

，
∴點P的坐標為（1+

6

，5）或（1-

6

，5）．
綜上所述：滿足條件的點P的坐標為（1+

2

，1）或（1-

2

，1）或（1+

6

，5）或（1-

6

，5）．

點評：本題主要考查了運用待定系數(shù)法求拋物線的解析式、平行四邊形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，正確進行分類是解決本題的關(guān)鍵．